2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства.

Геометрическая интерпретация: рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy. Каждому комплексному числу z=a+bi можно сопоставить точку с координатами (a, b), и наоборот, каждой точке с координатами (c, d) можно сопоставить комплексное число w=c+di. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Модуль: пусть комплексное число z=a+bi изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z|. Очевидно, что |z|=(a^2+b^2)^(1/2). Угол, образованный радиус-вектором числа z с осью Ox, называется аргументом числа z и обозначается arg(z). Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2П. Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до 2П или в диапазоне от –П до П. Кроме того у числа z=0 аргумент не определен. Arg(z) равен углу f. Из того же рисунка очевидно, что tg(f)=b/a. С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа: arg(z)=arctg(b/a) или arg(z)=П+arctg(b/a), причем первая формула действует, если изображение числа z находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если во второй или третьей. Если a=0, то комплексное число изображается вектором на оси Oy и его аргумент равен П/2 или 3П/2. Получим еще одну полезную формулу: пусть z=a+bi. Тогда _z=a-bi; z*(_z)=(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2. С учетом формулы получим z*(_z)=|z|^2 или |z|=(z*(_z))^(1/2).

Комплексное сопряжение: если комплексное число z=x+iy, то число _z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z.

3. Полярные координаты на плоскости. Тригонометрическая форма записи кч.

Полярные координаты на плоскости:

Тригонометрическая форма записи: Пусть z=a+bi. Положим r=|z|, f=arg(z). Очевидно, что a=r*cos(f), b=r*sin(f). Тогда z=r*cos(f)+(r*sin(f))*i. Это выражение запишем в виде z=r*(cos(f)+i*sin(f)). Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде a+bi называют иногда алгебраической формой комплексного числа. Отметим, что тригонометрическая форма - это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Замечание: При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения cos(f) и sin(f), иначе мы потеряем явное указание аргумента z и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол f получился отрицательным, то знак "-" НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.

4. Свойства модуля и аргумента кч. Ф-лы Муавра.

Св-ва модуля: Число |z|=(x^2+y^2)^(1/2) называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

|z|>=0, причём |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0; |z1+z2|<=|z1|+|z2| (неравенство треугольника); |a*z|=a*|z|, - эти три свойства вводят на комплексных числах структуру двумерного нормированного пространства над полем R;

|z1*z2|=|z1|*|z2|; |z1/z2|=|z1|/|z2|.

Угол f такой, что: cos(f)=x/|z| и sin(f)=y/|z|, называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2Пk, где k - любое целое число. Из определения следует, что tg(f)=y/x.

Св-ва аргумента: аргумент произведения равен сумме аргументов, аргумент частного равен разности аргументов, арг(з)^н=н*арг(з), аргумент сопряжённого кч равен отрицательному аргументу кч.

Ф-ла Муавра: Формула Муавра для комплексных чисел z=r*(cos(f)+i*sin(f)), заданная в тригонометрической форме - формула (r(cos(f)+i*sin(f)))^n=r^n*(cos(nf)+i*sin(nf)) для любого n из Z. Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа

Отметим, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса (r)^(1/n) с центром в точке 0.

5. Ф-ла Эйлера. Показательная форма записи кч.

Ф-ла Эйлера: Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x), где e - основание натурального логарифма, i - мнимая единица.

Док-во: Доказательство формулы Эйлера достаточно тривиально. Разложим функцию e^(ix) в ряд Тейлора по степеням x. Получим: e^(ix)=1+ix/1!+(ix)^2/2!+(ix)^3/3!...=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…)+i(x/1!-x^3/3!+x^5/5!-...)

Но (1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…)=cos(x), (x/1!-x^3/3!+x^5/5!-...)=sin(x). Поэтому e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой e^(ix)=cos(x)+i*sin(x), которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа. Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид z=r*(cos(x)+i*sin(x)). На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим z=r*e^(ix). Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь r=|z|, x=arg(z).