37. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

38. Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

Матричный метод решения систем линейных уравнений. Систему уравнений можно записать: AX = B. Сделаем следующее преобразование: A^(-1)AX = A^(-1)B, т.к. A^(-1)А = Е, то ЕХ = A^(-1)В Х = A^(-1)В.

К матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица:

39. Линейное пространство многочленов. Определитель Вандермонда.

Определителем Вандермонда называется определитель . Он равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара такая, что .

40. Деление многочленов. Теорема Безу.

К делению многочленов также применимо деление столбиком. Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

Теорема Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x – a) равен P(a).

41. Кратность корня многочлена: определение, нахождение через производные.

В общем случае кратностью корня x=a многочлена F(x) называют наибольшую степень двучлена (x – a), на которую делится многочлен F(x): k – кратность корня и

42. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители (в тч на вещественные).

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.

1) Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c ( a + b ). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.

2) Использование формул сокращённого умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

3) Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.

43. Разложение рациональной дроби на простейшие.

1) Если дробь неправильная, выделить целую часть, следующие пункты применить к остатку

2) Найти действительные корни знаменателя:

а) Если это многочлен степени 3 и выше, некоторые его корни стоит искать перебором делителей свободного члена.

б) Когда найден хотя бы один корень x₁, нужно разделить исходный многочлен на (x - x₁).

в) Пункты 1) и 2) нужно повторять до тех пор, пока будет получено квадратное уравнение, корни которого находят по школьным формулам. Если действительных корней нет - оставляют так.

г) Если до квадратного уравнения дойти не получилось, нужно во-первых - уточнить условие (может, неверно переписано), во-вторых - есть целый раздел математики "решение уравнений высших степеней"

3) Представить знаменатель в виде произведения (x - x₁)(x - x₂)...

4) Получить сумму дробей, в знаменателе каждой из которых находится один из множителей предыдущего пункта, а в числителе - многочлен степени на 1 меньше, чем в знаменателе. Если некий корень оказался кратным степени m, то ему будет соответствовать m дробей, со знаменателями в степени от 1 до m

5) Привести полученные дроби к общему знаменателю и сложить

6) Приравнять полученную дробь к исходной правильной дроби из пункта 0

7) Приравнять коэффициенты при х в одинаковых степенях справа и слева от знака "="

8) Решить полученную систему уравнений

9) Подставить полученные коэффициенты в соответствующие дроби.