27. Уравнения прямой в пространстве.

1) Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений. Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей - и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

2) Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой. Пусть для прямой известны ее направляющий вектор и точка , лежащая на этой прямой. Пусть - произвольная (текущая) точка прямой . Обозначим через и r радиус-векторы точек и соответственно

Тогда вектор коллинеарен вектору p и, следовательно, , где - некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что . Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра мы будем получать новую точку на прямой .

3) Так как - координаты точки , то , , . Из формулы (11.12) получим

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой. Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части -- координаты точки на прямой. Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

4) Из уравнений (11.13) выразим параметр : . Так как во всех трех соотношениях параметр имеет одно и то же значение, то . Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

28. Эллипс и его уравнение в полярных координатах.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса): . Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса. Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет: . Координаты фокусов эллипса: . Уравнение касательных, проходящих через точку . Уравнение нормали в точке .

В полярных координатах: если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид , где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При положительном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке а при отрицательном — в точке . Другое уравнение в полярных координатах: .

29. Гипербола и её уравнение в полярных координатах.

Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением: . Числа и называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Каждая гипербола имеет пару асимптот: и .

1) Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы.

2) Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы .

3) Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называется большой или вещественной полуосью гиперболы .

4) Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы .

5) Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом: . Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.

6) Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром .

7) В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием .

8) Прицельным параметром называется расстояние от фокуса до одной из асимптот гиперболы. Прицельный параметр равен малой полуоси гиперболы.

В полярных координатах: если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то . Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то .