Змістовий модуль 3.

„Елементи аналітичної геометрії”

1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(-2; 5) і паралельна прямій 3x+4y+2=0.

2. Задано вершини трикутника А(2; 2), В(-2;-8) і С(-6;-2). Скласти рівняння його медіан.

3. Задано вершини трикутника А(0; 1), В(6; 5) і С(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.

4. Задано вершини трикутника А(0; 0), В(–1; –3) і С(–5; –1). Скласти рівняння прямих, що проходять через вершини трикутника і паралельні до його сторін.

5. Визначити відстань від точки М(2; –1) до прямої, що відтинає на осях координат відрізки а=8, b=6.

6. Задано середини сторін трикутника А₁(–1; –1), В₁(1; 9) і С₁(9; 1). Скласти рівняння серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

7. Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 5) і С(13; –4). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини В, і висоти, опущеної з вершини С. Обчислити площу трикутника.

8. Задано сторони трикутника x–y=0 (АВ), x+y–2=0 (ВС), y=0 (АС). Скласти рівняння медіани, яка проходить через вершину В, і висоти, що проходить через вершину А.

9. Скласти рівняння трьох сторін квадрата, якщо відомо, що четвертою стороною є відрізок прямої 4x+3y–12=0, кінці якого лежать на осях координат.

10. Знайти кутовий коефіцієнт, загальне рівняння прямої і відрізки, що відтинаються нею на осях, якщо пряма проходить через точки: 1) А(2; –8) і В(–1; 7), 2) А(–1; 1) і В(–1; 5).

11. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 3) і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.

12. Дано пряму 2x+3y+5=0. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 1): 1) перпендикулярно до даної прямої; 2) паралельно до даної прямої.

13. Скласти рівняння прямих, проведених через вершини трикутника паралельно до протилежних сторін, якщо відомі рівняння сторін трикутника 5x–2y+6=0, 4x–y+3=0, x+3y–7=0.

14. Скласти рівняння висот трикутника, якщо задано рівняння його сторін:

1) 2x–y+3=0, x+5y–7=0, 3x–2y+6=0; 2) x+2y–1=0, 5x+4y–17=0, x–4y+11=0.

15. Задано середини сторін трикутника А₁(2; 1), В₁(5; 3) і С₁(3; –4). Скласти рівняння його сторін.

16. Задано сторони трикутника x+3y–7=0 (АВ), 4x–2y–2=0 (ВС), 6x+8y–35=0 (АС). Знайти довжину висоти, проведеної з вершини В.

17. Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 2) і С(3;-1). Скласти рівняння бісектриси кута A.

18. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо дано одну з його вершин В(–4; –5) і рівняння двох висот 5x+3y–4=0 і 3x+8y+13=0.

19. Відомі протилежні вершини квадрата А(–1; 3), С(6; 2). Скласти рівняння сторін квадрата.

20. Знайти координати вершин ромба, якщо відомі рівняння двох сторін x+2y–4=0, і x+2y–10=0, та рівняння діагоналі x–y+2=0.

21. Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(1; 2), В(0; –1) і С(–3; 0).

22. Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(7; 7), В(–2; 4), якщо його центр лежить на прямій 2x–y–2=0.

23. Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки і .

24. Еліпс, віднесений до осей, проходить через точку M(1; 1) і має ексцентриситет ε=3/5. Скласти рівняння еліпса.

25. Ексцентриситет гіперболи дорівнює . Скласти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку .

26. Скласти рівняння гіперболи, яка проходить через точку M(9; 8), якщо рівняння асимптот гіперболи мають вигляд .

27. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої розташовані у відповідних фокусах і вершинах еліпса .

28. Через точку M(0; –1) і праву вершину гіперболи проведена пряма. Знайти другу точку перетину прямої з гіперболою.

29. Задано гіперболу . Знайти софокусний еліпс, який проходить через точку M(4; 6).

30. Задано еліпс . Записати рівняння софокусної рівнобічної гіперболи.

31. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що її фокус знаходиться у точці перетину прямої 4x–3y–4=0 з віссю Ox.

32. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, симетричною відносно осі Ox, і яка відтинає від прямої y=x хорду довжиною .

33. Парабола відтинає від прямої, яка проходить через початок координат, хорду, довжиною 3/4. Скласти рівняння цієї прямої.

2-ий семестр