37. Матрица Якоби системы функций нескольких переменных.

Матрица Якоби – матрица частных производных:

В матричной форме разложение системы функций в ряд Тейлора можно записать в виде:

Пусть – решение задачи

x – точка, относительно которой осуществляется разложение в ряд Тейлора.

Пусть – значение вектора, полученного на итерации номер n.

Получаем уравнение:

– итерационное уравнение метода Ньютона.

– номер итерации

38. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.

В этом методе искомая система уравнений записывается в виде .

Итерационная процедура строится в соответствии с уравнением:

Алгоритм этой процедуры:

Условие сходимости простых итераций к решению:

если отображение является сжимающим, то уравнение имеет единственное решение , а расстояние между точным решением

Расстоянием между двумя векторами называется функция, удовлетворяющая условиям:

1)

2)

3) неравенство треугольника:

Отображение называется сжимающим, если для любых двух векторов и расстояние между их отображениями .

Доказательство теоремы сходимости простой итерации

– вектор, полученный на n-ой итерации.

Доказательство единственности решения осуществляется методом от противного:

Примем, что существует два решения:

Расстояние между этими векторами:

Приходим к противоречию, поэтому вынуждены признать, что решение является единственным.

Геометрическая интерпретация простой итерации – функция одной переменной

Интерполяционный процесс не сходится.

Можно показать, что в этих двух случаях отображение является сжимающим.

При использовании метода простых итераций для обеспечения сходимости можно использовать различные способы перехода от системы уравнений к системе .

39. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона.

Идея метода Ньютона заключается в том, что нелинейная задача в окрестности некоторой точки заменяется на линейную задачу.

Запишем уравнение Тейлора в окрестности f(x)

Введем матрицу частных производных:

Эта матрица называется матрицей Якоби.

В матричной форме разложение системы функций в ряд Тейлора можно записать в виде:

Пусть – решение задачи

x – точка, относительно которой осуществляется разложение в ряд Тейлора.

Пусть – значение вектора, полученного на итерации номер n.

Получаем уравнение:

– итерационное уравнение метода Ньютона.

– номер итерации

Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости к решению, однако, требует, чтобы начальное значение x₀ было достаточно близко к решению задачи. Поэтому иногда метод Ньютона сочетают с другими более грубыми методами, при этом грубые методы используются для нахождения стартовой точки метода Ньютона.

Сходимость алгоритма метода Ньютона, как и других методов, зависит не только от вида функции, но и от выбора начальной точки итерационного процесса.

46. Необходимые и достаточные условия минимума и максимума функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных

Рассмотрим функцию , где  -- открытое множество.

Определение 1.    называется точкой максимума (минимума) функции , если

Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Теорема 1. (необходимое условие экстремума)   Если  -- точка экстремума и существует , то .

Определение 2.    -- стационарная точка функции , если  -- дифференцируема в этой точке и , или  -- не дифференцируема в этой точке.

Замечание 1.   Квадратичная форма -- многочлен вида ,  -- положительно определена, если на положительных переменных она принимает положительные значения. Для квадратичных форм существует критерий Сильвестра: форма положительно определена, если все главные миноры ее матрицы положительны. Форма отрицательно определена, если  положительно определена. Тогда главные миноры меняют знак, начиная с минуса.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума)   Если  дважды дифференцируема в стационарной точке , то  -- точка минимума (максимума), если квадратичная форма  положительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли  точкой экстремума.

Замечание 2.   В случае двух переменных матрица квадратичной формы имеет вид . Тогда если , то для положительной определенности достаточно  -- тогда имеется минимум. Если же , то достигается максимум. Если же , то ничего сказать нельзя.