2.2. Оценивание параметров

Предположим, что вид распределения генеральной совокупнос­ти известен (нормальное, экспоненциальное и т.п.). Тогда зада­ча статистики сводится к оцениванию параметров этого распре­деления по результатам выборочных данных, в частности, к оцениванию математического ожидания, дисперсии и т.д.

Точечной оценкой 0 неизвестного параметра 0 называется при­ближенное значение этого параметра, найденное по выбороч­ным данным:

Точечная оценка должна быть, по возможности, состоятель­ной, несмещенной и эффективной.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки сходится по вероятности к оцениваемому пара­метру. Можно показать, что оценка является состоятельной, если при п —> ос выполняются соотношения

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым параметром М[9]= 9.

Эффективной называется оценка, имеющая при заданном объеме выборки минимальную дисперсию. Несмещенная оцен­ка является тем более точной, чем меньшую дисперсию она имеет.

Предположим, что случайная величина X на генеральной совокупности имеет математическое ожидание т и дисперсию о². В качестве точечной оценки математического ожидания мож­но принять выборочное среднее:

(2.4)

Эта оценка является состоятельной и несмещенной. Действи­тельно,

Если же выборка взята из нормально распределенной гене­ральной совокупности, то оценка (3.4) является и эффективной.

При обосновании состоятельности оценки мы получили важ­ную формулу для дисперсии выборочного среднего, которая бу­дет использована в дальнейшем:

(2.5)

В качестве точечной оценки дисперсии генеральной сово­купности принимается специальная характеристика, называе­мая несмещенной дисперсией:

(2.6)

Одним из наиболее распространенных методов оценивания параметров распределения является метод максимального прав­доподобия. Для непрерывной случайной величины с известной плотностью Дх,9), зависящей от некоторого неизвестного пара­метра 9, вводится функция правдоподобия (2.7)

где х — фиксированные выборочные данные.

Доверительным интервалом параметра θ называется интервал , содержащий истинное значение 9 с заданной вероятно­стью :

(2.8)

Число р называется доверительной вероятностью, или надеж­ностью оценки, и принимается близким к единице: 0,9; 0,95; 0,99. Значение а называется уровнем значимости.

Используя соотношения (3.57), (3.54), а также (3.39), для доверительного интервала математического ожидания нормаль­но распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии о² можно получить следующее соотношение:

(2.9)

При неизвестной дисперсии генеральной совокупности фор­мула для доверительного интервала математического ожидания Нормально распределенной совокупности примет вид:

(2.10)

где s — квадратный корень из несмещенной дисперсии (2.10);

По аналогии может быть получена формула для расчета доверительного интервала дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании:

(2.11)