2. Основы математической статистики

2.1. Описательная статистика

Предположим, что имеется большая партия деталей, и надо дать заключение о том, соответствует ли контролируемый размер X техническим требованиям. Можно провести сплошное обследо­вание - проверить размер каждой детали. Такой подход требует слишком больших материальных затрат. Другой, альтернативный подход к решению этой задачи - отобрать из всей партии срав­нительно небольшое число деталей и изучить их характеристики.

Совокупность отобранных объектов называется выборкой, а количество отобранных объектов — объемом выборки. Все мно­жество объектов, из которых производится выборка, называется генеральной совокупностью. Контролируемая случайная величи­на X на генеральной совокупности имеет некоторую функцию распределения F(x), плотность распределения f(х), математичес­кое ожидание т, дисперсию а² и другие характеристики, значе­ния которых неизвестны.

Основная задача статистики - по результатам исследования выборки дать заключение о характеристиках генеральной сово­купности.

Для получения достоверных результатов выборка должна правильно отражать пропорции генеральной совокупности, т.е. быть репрезентативной. Очевидно, если партия деталей изго­товлена рабочими разной квалификации, а в выборку попали лишь детали, изготовленные рабочим с более высокой квалифи­кацией, вряд ли можно ожидать правильные данные для всей партии деталей. Можно показать, что выборка репрезентативна, если она отобрана из генеральной совокупности случайным об­разом. На практике такой отбор не всегда легко осуществим, поэтому используют различные способы отбора, обеспечиваю­щие случайность в большей или меньшей степени.

В описательной статистике рассматриваются методы пред­ставления выборочных данных, в первую очередь, в табличной и графической форме. Часть из рассмотренных выше простых ин­струментов качества, такие, как контрольные листки, гистограм­ма качества, диаграмма рассеяния, представляют собой именно такие методы. Ниже рассматриваются некоторые методы описательной статистики, наиболее важные с точки зрения теорети­ческих основ статистических методов.

Результаты наблюдений контролируемого размера в выбор­ке записываются в порядке их регистрации х_х, х₂, ... , х_n; п -объем выборки. Вариационным называется ряд, составленный из элементов выборки в порядке их возрастания: х^* < х<²⁾ < ... < х*"*. При этом минимальный элемент выборки x_min = х*¹*, макси­мальный элемент х_max = x^п). Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом:

(2.1)

При достаточно большом объеме выборки данные группиру­ют - разбивают на интервалы, как правило, одинаковой длины. Количество интервалов к выбирается в зависимости от объема выборки, обычно от 8 до 20 интервалов. Иногда используется эмпирическая формула

к = 1 + 3,32 lg п. (2.2)

Длина интервала

w=R/k. (2.3)

Выборочным распределением называется распределение диск­ретной случайной величины, принимающей значения х,, х₂, … , х_п с вероятностями

1 / п. График выборочной функции распределе­ния F(x) строится по значениям накопленных отно­сительных частот. Можно показать, что при большом объеме выборки выборочная функция распределения является прибли­женной оценкой функции распределения F(x) генеральной со­вокупности.

Гистограмма частот строится по значениям n_;/ wn и является приближенной оценкой плотности распределения f(x) генеральной совокупности.