2. Применение методов математической статистики в экономических расчетах
2.1. Расчет параметров регрессионных моделей. Проверка надежности найденных статистических показателей и вариаций изменений
Задание 1. Установить статистическую зависимость между годовым объемом работы по грузообороту (млрд ткм), приняв его за независимую переменную (x) и фондоемкостью перевозок приняв ее за зависимую переменную (Y). Составить линейную модель вида Yx=a+bx.
Исходные данные:
|
Таблица 2.1. 1 Грузооборот в млн. ткм (Х)
|
Таблица 2.1.2 Показатели фондоемкости перевозок (Y), руб на 1 ткм
|
Одной из главных задач повышения качества планирования является становление достоверных показателей на основе объективных количественных закономерностей, существующих в экономических процессах на транспорте.
Функциональная зависимость между независимой переменной Х и зависимой У состоит в том, что каждому значению Х поставлено в однозначное соответствие определенное значение У. В реальных условиях, когда одновременно действует много факторов, изучаемая связь теряет свою функциональность. Возникает потребность в оценке таких зависимостей иными, статистическими методами.
Одним из признанных методов определения статистической связи являются расчеты на базе линейной модели регрессионного анализа.
Парную регрессионную модель можно представить графиком, где на оси абсцисс откладывается независимая переменная Х, а на оси ординат-независимая У.
Линейная регрессия описывается уравнением вида:
где Yx - оцениваниемая величина;
х - независимая переменная;
a и b - параметры выборки.
В основе расчета параметров лежит метод наименьших квадратов с использованием в качестве математической модели нормальной системы уравнений:
Параметры a и b находятся соответствующими алгебраическими преобразованиями и подстановкой:
где x* , y* - средние значения параметров, n- число испытаний.
|
n |
х |
у |
ху |
х^2 |
Yx |
Y-Yx |
(Y-Yx)^2 |
y^2 |
(y-y*) |
(y-y*)^2 |
|
1 |
9 |
100 |
900 |
81 |
67,879 |
32,121 |
1031,8 |
10000 |
38,33 |
1469 |
|
2 |
11 |
80 |
880 |
121 |
84,444 |
-4,444 |
19,753 |
6400 |
18,33 |
336 |
|
3 |
9 |
60 |
540 |
81 |
67,879 |
-7,879 |
62,075 |
3600 |
-1,67 |
2,789 |
|
4 |
8 |
60 |
480 |
64 |
59,596 |
0,404 |
0,1633 |
3600 |
-1,67 |
2,789 |
|
5 |
4 |
20 |
80 |
16 |
26,465 |
-6,465 |
41,792 |
400 |
-41,67 |
1736 |
|
6 |
10 |
60 |
600 |
100 |
76,162 |
-16,16 |
261,2 |
3600 |
-1,67 |
2,789 |
|
7 |
6 |
40 |
240 |
36 |
43,03 |
-3,03 |
9,1827 |
1600 |
-21,67 |
469,6 |
|
8 |
7 |
40 |
280 |
49 |
51,313 |
-11,31 |
127,99 |
1600 |
-21,67 |
469,6 |
|
9 |
5 |
40 |
200 |
25 |
34,747 |
5,2525 |
27,589 |
1600 |
-21,67 |
469,6 |
|
10 |
10 |
80 |
800 |
100 |
76,162 |
3,8384 |
14,733 |
6400 |
18,33 |
336 |
|
11 |
13 |
100 |
1300 |
169 |
101,01 |
-1,01 |
1,0203 |
10000 |
38,33 |
1469 |
|
12 |
7 |
60 |
420 |
49 |
51,313 |
8,6869 |
75,462 |
3600 |
-1,67 |
2,789 |
|
Сумма |
99 |
740 |
6720 |
891 |
|
|
1672,7 |
52400 |
|
6767 |
|
х*= 8,25 |
у*= 61,67 |
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате применения блока Анализ Данных в ЭТ MS Excel имеем: b =8,282828, a = -6,66667, и уравнение регрессии: Yx= -6,66667+ 8,282828*Х.
Задание 2. Определить достоверность найденного уравнения линейной регрессионной модели, используя критерий Фишера.
Для использования критерия Фишера (F) устанавливается отношение (η) полной дисперсии (s2y ) к остаточной (s2y, x) :
m - число факторов в модели (m =2). Из расчетов имеем:
s2y = 6766,667; s2y,x =1672,727;
Найдем теперь отношение η =6766,667/1672,727=4,045
С помощью статистической таблице F - распределения определяем, что с доверительной вероятностью, в 95 случаях из 100 мы имеем удовлетворительный результат, так как f(0.95)= 2.94, и меньше значения η. Полученный результат позволит нам использовать рассчитанное уравнение регрессии для различных целей, включая прогнозирование.