- •Оглавление:
- •1. Использование методов линейного программирования для целей оптимального распределения ресурсов
- •1.1. Оптимизация плана перевозок с использованием метода потенциалов
- •1.2. Оптимизация плана транспортной задачи с использованием метода потенциалов на сети
- •1.3. Обобщенная транспортная задача.
- •2. Применение методов математической статистики в экономических расчетах
- •2.1. Расчет параметров регрессионных моделей. Проверка надежности найденных статистических показателей и вариаций изменений
- •2.2. Расчет параметров парной корреляции
- •2.3. Выравнивание рядов распределений с проверкой гипотезы нормальности по критерию Пирсона на базе эмпирического ряда величин себестоимости железнодорожной перевозки.
- •2.4. Прогнозирование экономических показателей методом простого экспоненциального сглаживания
- •3. Общая задача линейного программирования и решение ее симплекс-методом
- •3.1 Модифицированный симплекс.
- •3.2 Решение задачи симплекс – методом с использованием искусственного базиса.
- •Список литературы
2.4. Прогнозирование экономических показателей методом простого экспоненциального сглаживания
Задание 1. Рассчитать заданным методом прогноз для локомотивного депо на 10 -ый год при параметрах сглаживания =0.3 =0.5.
Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует в основном значение процесса на конце интервала сглаживания. Это свойство используется для прогнозирования.
Qtпрогноз=yt-1 + (1-)*Qt-1
Таблица 2.4.1.
Год |
Кол-во тяжеловесных поездов |
Qi, при α = 0,3 |
Qi, при α = 0,5 |
1 |
5090 |
- |
- |
2 |
5100 |
5090,00 |
5090,00 |
3 |
5230 |
5097,00 |
5095,00 |
4 |
5300 |
5190,10 |
5162,50 |
5 |
5400 |
5267,03 |
5231,25 |
6 |
5440 |
5360,11 |
5315,63 |
7 |
5500 |
5416,03 |
5377,81 |
8 |
5580 |
5474,81 |
5438,91 |
9 |
5650 |
5548,44 |
5509,45 |
10 |
5600 |
5619,53 |
5579,73 |
Независимо от коэффициента сглаживания количество тяжеловесных поездов останется в пределах 5620 шт.
3. Общая задача линейного программирования и решение ее симплекс-методом
Имеется возможность выпуска 4 видов продукции (N1, N2, N3, N4) на пяти типах машин (A, B, C, D, E).
1. Сформировать математическое описание задачи.
2. Построить каноническую форму.
3. Найти оптимальный план.
4. Выполнить анализ оптимального производственного плана, включая состав и объем выпуска продукции, получаемую при этом прибыль, эффективность и состояние использованных ресурсов.
5. Проанализировать возможность изменения оптимального плана, привлекая для этого двойственные оценки.
Исходные данные приведены в табл. 3.1-3.3.
В табл. 3.1 приведены данные по коэффициентам затраты- выпуск. В табл.3.2 приведены данные по коэффициентам целевой функции. В табл. 3.3 приведены данные по ресурсам.
Таблица 3.1.
A |
4 |
2 |
0 |
1 |
B |
2 |
0 |
2 |
1 |
C |
2 |
2 |
2 |
0 |
D |
2 |
2 |
1 |
1 |
E |
0 |
2 |
2 |
2 |
Таблица 3.2.
Прибыль на единицу |
|||
10 |
8 |
9 |
12 |
Таблица 3.3.
|
Ресурсы |
A |
770 |
B |
740 |
C |
700 |
D |
800 |
E |
760 |
1. Математическое описание задачи.
4 X1+2 X2+0 X3+1 X4<=770
2 X1+0 X2+2 X3+1 X4<=740
2 X1+2 X2+2 X3+0 X4<=700
2 X1+2 X2+1 X3+1 X4<=800
0 X1+2 X2+2 X3+2 X4<=760
X1 >=0
X2 >=0
X3 >=0
X4 >=0
10X1+8X2+9X3+12X4 =max F
2. Построение канонической формы. Для каждого ограничения вводим Xj >=0 - дополнительную переменную. Поскольку у нас пять ограничений, необходимо ввести пять дополнительных переменных: X5, X6, X7, X8, X9. В результате имеем систему уравнений относительно ограничений и неравенств относительно переменных.
4x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 + 1х5 + 0х6 + 0х7 + 0х8 + 0х9 = 770
2x1 + 0x2 + 2x3 + 1x4 + 0х5 + 1х6 + 0х7 + 0х8 + 0х9 = 740
2x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 + 0х5 + 0х6 + 1х7 + 0х8 + 0х9 = 700
2x1 + 2x2 + 1x3 + 1x4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 + 1х8 + 0х9 = 800
0x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 + 0х8 + 1х9 = 760
x1, x2, x3, x4, х5, х6, х7, х8, х9 ≥ 0
Строится базис допустимого плана относительно этих переменных. Для этого приравняем 0 значения всех переменных относительно возможного выпуска изделий 1, 2, 3, 4 вида, т.е. приравняем 0 переменные X1= X2= X3= X4=0. Тогда:
1 X5+0 X6+0 X7+0 X8+0 X9=770
0 X5+1 X6+0 X7+0 X8+0 X9=740
0 X5+0 X6+1 X7+0 X8+0 X9=700
0 X5+0 X6+0 X7+1 X8+0 X9=800
0 X5+0 X6+0 X7+0 X8+1 X9=760
X1 =0 X2 =0 X3 =0 X4 =0
На основе базиса допустимого плана построим специальную форму для решения задачи симплекс-методом.
План оптимален, т.к. все показатели индексной строки неотрицательны.
-
Анализ оптимального плана решения задачи
Из содержания оптимального плана следует что, необходимо выпускать изделия первого (х1) и четвертого (х4) вида в количестве 97,5 и 380 единиц. Это обеспечивает массу прибыли в 5535 стоимостных единиц. Остальные изделия в оптимальный план не попали. Это значит, что значения соответствующих переменных равны : х2=х3=0.
Подставим значения неизвестных в оптимальном плане в систему неравенств модели. Имеем:770=770; 575<740 ; 195<700 ; 575<800; 760=760
X1 >0 X2 =0 X3 =0 X4 >0
Первое и последнее неравенства выполняются как равенства, т.е. ресурсы используются полностью, а второе, третье и четвертое неравенства выполняются как строгие - имеются излишние ресурсы в количестве 895 ед.. Этому же соответствует и значения дополнительных переменных х6+х7+х8=895 ед.
Двойственная оценка характеризует прирост прибыли на единицу прироста соответствующего ресурса. Используя двойственные оценки видно что, ресурсы пятого вида наиболее эффективны для производства. Каждая единица прироста этого ресурса обеспечивает увеличение целевой функции на 4,75 единицы.
Двойственная оценка недоиспользуемых ресурсов х6, х7, х8 равны нулю.
Составим двойственную задачу:
Прямая задача |
Подстановка значений |
4 X1+2 X2+0 X3+1 X4<=770 2 X1+0 X2+2 X3+1 X4<=740 2 X1+2 X2+2 X3+0 X4<=700 2 X1+2 X2+1 X3+1 X4<=800 0 X1+2 X2+2 X3+2 X4<=760 X1 >=0 X2 >=0 X3 >=0 X4 >=0 10X1+8X2+9X3+12X4 =max F |
4*97.5+2*0+0*0+1*380=770; 770=770 2*97.5+0*0+2*0+1*380<740; 575<740 2*97.5+2*0+2*0+0*380<700; 195<700 2*97.5+2*0+1*0+1*380<800; 575<800 0*97.5+2*0+2*0+2*380=760; 760=760 X1 =97.5 X2 =0 X3 =0 X4=380 10*97.5+8*0+9*0+12*380 =5535 |
Двойственная задача |
Подстановка значений |
Y1 >=0 Y2 >=0 Y3 >=0 Y4 >=0 Y5 >=0 4 Y1+2 Y2+2 Y3 +2 Y4 +0 Y5 >=10 2 Y1+0 Y2+2 Y3 +2 Y4 +2 Y5 >=8 0 Y1+2 Y2+2 Y3 +1 Y4 +2 Y5 >=9 1 Y1+1Y2+0 Y3 +1 Y4 +2 Y5 >=12 770Y1+740 Y2+700Y3+800 Y4 + +760 Y5 =min F1 |
Y1 =2.5 Y2=0 Y3=0 Y4=0 Y5=4.75 4 *2.5+2 *0+2*0 +2 *0 +0 *4.75=10 10=10 10-10=0 2 *2.5+0 *0+2 *0 +2 *0+2 *4.75 >8 14.5>8 14.5-8=6.5 0 *2.5+2 *0+2 *0 +1 *0 +2 *4.75 >9 9.5>9 9.5-9=0.5 1 *2.5+1*0+0 *0+1 *0+2 *4.75 =12 12=12 12-12=0 770*2.5+740 *0+700*0+800 *0 ++760 *4.75 =5535
|