48. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.
Игрокам надо так выбирать стратегии, чтобы партнер не догадался о них
р1,……рm
– вероятности, с котор А использует
стратегии А1,…..Аm:
.
р=(р1…..рm) – смешанная стратегия. Чистая стратегия – частный случай смешанной р=(0,…..,1,….0).
q=(q1;…..;qn) – смешанная стратегия B.
Игроки выбир-т
стратегии случайно и независимо друг
от друга, вероятность выбора комбинации
.
Средняя величина
выйгрыша
Решение можно упростить, выявив доминир-ее стратегий.
Если
,то
выйгрыш А при
больше, чем при
.
Аналогично
.
В невыгодно применять
.
Стратегия
доминирует над стратегией
.
49. Решение матричной игры сведением к задаче лп.
Пусть
и
все аij
.
Тогда v>0.Для
qопт.
В стремится сделать V меньше, т.е. max ф-цию.
При ограничениях
Задача ЛП. Решив
Аналогично
-пара
симметричных двойственных задач.
50.Игры с природой. Решение статистических игр при известных вероятностях состояний природы (критерии Байеса, Лапласа )
Сознательный игрок
А (статистик), заинтерес-ый в исходе
против участника, безразличн к рез-ту
(природы П). При решении достаточно найти
рекомендации для А, природа в рекомендациях
не нужд-ся. Обычно известны возможные
состоянии природы, а иногда и их
вероятности. Эти вероятности наз-т
априорными.
Отбрасывать состояния природы нельзя.
Риском
статистика
наз-ся разность
между максим выйгрышем, котор он мог бы
получить, зная, что природой будет
реализовано состояние
и выйгрышем, котор он получит использ
стратегию
.
,
где
-
максим элемент j-го
столбца.
Решение оцен-т с различных позиций. Если известны вероятности состояний природы:
Среднее значение
выйгрыша
Среднее значение
риска
.
В качестве оптимальной
по критерию Байеса приним-ся стратегия
,
максимиз-щая средний выйгрыш.
Если статистик считает состояния природы в равной мере возможными, то q1=…..=qn=1/n – принцип недостаточного основания Лапласа.
51. Решение статистических игр при неизвестных вероятностях состояний природы (критерии Вальда, Гурвица)
Если неизвестны вероятности qj состояний природы:
Критерий Вальда (крайнего пессимизма)полагает, что природа “действует” наихудшим образом. Выбирают стратегию, при кот наименьший выигрыш-max , оптимальна максимальная стратегия, max выигрыш –нижняя чистая цена игры. Для смешанных стратегий критерий Вальда: оптимальной смешанной стратегией считается та, при кот min средний выигрыш максимизируется.
Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма) советует рассчитывать на нечто среднее.
Оптимальная стратегия.
и
выбирается из субъективных соображений
При
критерий
Гурвица превращается в критерий Вальда.
При
в критерий крайнего оптимизма
Анализ следует проводить по нескольким критериям.
Пример: Создается ателье для ремонта телевизоров. Поток заявок на ремонт -2,4,6 и 8 тыс заявок. Прибыль от ремонта 1 телевизора – 9 денежных ед, потери вызванные отказом в ремонте-5ден. ед., убытки от простоя -6 ден.ед. Дать рекомендации о мощности создаваемого ателье.
