11. Общие способы вычисления определителей.

1. Приведение к треугольному виду; свойства 6 и 8

2. Разложение определителя по строке; свойство 10

3. Разложение определителя по столбцу; свойство 11

4. Представление определителя в виде суммы определителей

5. Метод рекурертных соотношений

6. Теорема Лапаса

12. Ранг матрицы, его свойства. Методы нахождения ранга матрицы.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается

Rang А.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Методы нахождения ранга матрицы

1. нахождение ненулевых строк.

2. По нахождению базисного минора.

13. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Методы нахождения обратной матрицы.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E  , i=(1,n), j=(1,n),

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

Таким образом, А^-1=.

Для нахождения обратных матриц больших порядков, применяют следующую формулу:

где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1. det A = 4 - 6 = -2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

Таким образом, А^-1=.

свойства

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

14. Собственные значения матрицы. Собственные и присоединённые векторы матрицы.

Пусть А- квадратная матрица порядка n

Определение 1. Комплексное число называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевое решение матричного уравнения

Алгебраическая кратность собственного значения лямбда матрицы А, называеться кратность коря лимба характеристического уравнением Det(A-גE)

Квадратная матрица порядка n имеет с учетом кратности M собственных значений

Собственный вектор квадратной матрица А называеться отвечающий её собственному значению лямбда, называеться не нулевое решение Ах=גх

Собственные вектора квадратной матрицы отвечающие различным её собственным значениям называемых линейным

Каждому собственному значению лямбда матрицы а отвечает m=n-rang(A-גE) линейно не зависимых собственных векторов

Геометрическая кратность собственного значения лямбда квадратной матрицы А называется количество линейно не зависимых собственных векторов этой матрицы отвечают их собственному значению Лямбда