20. Системы линейных алгебраических уравнений. Общие понятия. Теорема Кронекера-Капелли.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

, (1)

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Ax=B

Решением слау называется упорядоченный набор чисел х1 х2 х3 при постановке которых в уравнение системы каждый из этих выражений обращается в тождество

Теорема Кронекера-Капелли:

Неоднородная слау была совместна, необходима и достаточная, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой систему.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

21. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теоремы о существовании решений. Структура общего решения.

Слау называется однородной если В1=В2=Вм=0 Ax=0

Слау называется не однородной если В1, B2, …, Bm не равно 0.

Свойства однородной системы

1* любая однородная слау совместна, имеет решение X1=0 X2=0 Xn=0

2* любая линейная комбинация решений однородной слау является решение этой системы

3* однородная слау имеет не нулевое решение тогда и только тогда когда ранг матрицы её коэффициента меньше количества её неизвестных

4* однородная слау имеет только нулевое решение когда ранг коэффициента равен количеству не известных этой системы.

Свойства неоднородной системы

1* разность 2-ух решений неоднородной слау является решение неоднородных систем равных. Ax=B Ay=B A(x-y)=Ax-Ay=B-B=0

U=x-y

2* общее решение совместных неоднородных систем общей слау представляет собой сумму некоторого решения этой системы и общего решения однородной системы х=y+-u’

3* совместная неоднородная слау имеет единственное решение тогда и только тогда когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и это равно количеству неизвестных.

4* неоднородная слау имеет бесконечно много решений тогда и только тогда когда ранг расширенной матрицы меньше n

Общим решением однородной слау называется, решение систем из которого может быть получено любое решение этой системы.

Фундаментальной системой решений ФСР однородной слау называется максимальная совокупность своих линейно независимых решений.

Если rang A=r n-количество неизвестных в однородной слау и r<n, то ФСР состоит из k=n-r

Общим решением системы алгебраических уравнений называется множество всех решений.

Теорема:

Если – ФСР однородных слау, то её общее решение Х слау предстоит виде

x=