29. Системы координат в пространстве.

декартовы, цилиндрические и сферические координаты

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM ( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ , j и z , где ρ и j — полярные координаты точки M' , а z — проекция вектора OM на вектор →n .

В сферических координатах положениеточки M определяется числами ρ , j и θ , где ρ = |OM| , j — полярный угол точки M' , а θ — угол между векторами →n и OM .Мы будем отсчитывать угол θ от вектора →n по направлению к вектору OM . Угол θ принимает значения от 0 до π .

30. Уравнения плоскости в пространстве. Условия пересечения, параллельности, совпадения и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве. Определение угла между двумя плоскостями.

Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax0-By0-Cz0

Условие параллельности двух плоскостей

Условие перпендикулярности A1*A2+B1*B2+C1*C2=0

Плоскости совпадают когда

угол между плоскостями находится по формуле:

Расстояние d от точки Мo(Xo;Yo;Zo) до плоскости Ax+By+Cz+D=0

31. Уравнения прямой в пространстве. Условия пересечения, параллельности, совпадения и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Определение угла между двумя прямыми.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

Канонические уравнения прямой в пространстве

:

.

32.Поверхности второго порядка, их классификация и изображения

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

1. - эллиптический цилиндр.

2. - гиперболический цилиндр.

3. x² = 2py – параболический цилиндр.

Поверхности вращения.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

1. - эллипсоид вращения

2. - однополостный гиперболоид вращения

3. - двуполостный гиперболоид вращения

4. - параболоид вращения

5. Сфера:

6. Трехосный эллипсоид:

7. Однополостный гиперболоид:

8. Двуполостный гиперболоид:

9. Эллиптический параболоид:

10. Гиперболический параболоид:

11. Конус второго порядка:

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где  - угол между  и нормалью.