4. Неопределённый интеграл, его свойства.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением.

1*

2* (

3*

4*

5*

6*

7* формула замены переменных

8* формула интегрирования по частям

5. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования и метод разложения. Табличные интегралы.

1. Метод не посредственного интегрирования

Базовый метод свойства 1* и 6* и табличные интегралы

А.

Б.

F(x)=

F(5x)=

В.

2. Метод разложения.

База метода свойства 3*,4*,5*,6* и табличные интегралы.

А. =

=2||=

Табличные интегралы

1. 

2. 

3. dx=

4. 

5. 

6. 

7. 

8. ; a

9. 

10. 

11. C

6. Метод интегрирования по частям и метод замены переменной под знаком интеграла.

7* формула замены переменных

8* формула интегрирования по частям

1. Метод замены переменных

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример.

Замена Получаем:

2. Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Пример.

Пример.

7. Понятие матрицы. Операции над матрицами, их свойства.

Матрица размером MxN называется совокупностью M и N чисел, расположенных в виде прямоугольных таблиц из M строк и N столбцов

Элементом матрицы (i и j) называется число расположенное на пересечении итой строки и джитого столбца матрицы

Операции над матрицами

А.Сложение матриц

Это сумма матриц А и В одинакового размера MxN, называется квадратные матрицы MxN, которые определяются по формуле Сij=Aij+Bij

Б. умножение матриц

Произведение матрицы А размера М и Х называется матрица В размерами М и Х, такая что Вij=P*aij, где Р это любое число.

5*=

В. Вычитание матриц

Разность А-В матриц элементами ij одинакового размера M и X называется матрица С размерами М и Х такая что Cij=Aij-Bij

=

Г. Произведение матриц

Необходимое условие: количество столбцов матрица А равно количеству строк матрицы В.

Произведение матрицы А размерами М х К на матрицу В размерами К и N называется матрица С размерами М и К. такая что Cij=Ai1*B1j+Ai2*B2j+Ai3*B3j…+Aik*Bkj

Примеры

A*B=

B*A=

Свойства

1.) Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

2.) Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A

3.) Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

4.) Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

5.) Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

6.) Коммутативность сложения: A + B = B + A.

7.) Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

8.) Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

9.) Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A − 1)^T = (A^T) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T

10.) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными

11.) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).