- •Теория процентов
- •Эффективная ставка процента
- •Эквивалентность различных процентных ставок
- •15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае простых процентов.
- •16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае кратного начисления сложных процентов.
- •Инфляция
- •18. Выведите формулу Фишера.
- •19. Темпы инфляции за последовательные периоды времени равны соответственно. Найдите темп инфляции за период .
- •Финансовые потоки, ренты
- •20. Дайте определение и выведите формулу для среднего срока финансового потока.
- •Расчет параметров ренты
- •30. Пусть заданы n, r, s. Найдите процентную ставку I .
- •31. Найдите приведенную величину и наращенную сумму вечной ренты.
- •32. Для бессрочной (вечной) ренты определить, что больше увеличит приведенную стоимость этой ренты; увеличение рентного платежа на 2% или уменьшение процентной ставки на 2%?
- •33. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты постнумерандо.
- •34. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р–срочной ренты пренумерандо.
- •35. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты постнумерандо (случай ).
- •36. Найдите приведенную величину и наращенную сумму p–срочной ренты пренумерандо (случай ).
- •Конверсия рент
- •56. Замените годовую ренту с параметрами p–срочной рентой с параметрами .
- •57. Дайте определение и приведите пример выкупа ренты.
- •58. Дайте определение и приведите пример консолидации рент.
- •Доходность актива
- •63. В чем состоит синергетический эффект при рассмотрении доходности актива за несколько периодов? Приведите пример.
- •Принятие решений в условиях полной и частичной неопределенности
- •64. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 3х4, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
- •65. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 4х5, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
- •66. Сформулируйте правила Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Приведите примеры.
- •67. Сформулируйте правила принятия решений в условиях частичной неопределенности. Приведите примеры.
- •Портфельный анализ
- •68. В чем состоит выделенная роль равномерного и нормального распределений?
- •69. Выведите формулу доходности портфеля из n–бумаг через доходности отдельных бумаг.
- •70. Опишите портфель из двух бумаг в случае полной корреляции.
- •81. Найдите координаты касательного портфеля (его доходность и риск).
- •Долгосрочная финансовая политика
- •82. Стоимость и структура капитала.
- •83. Теория Модильяни-Миллера без налогов.
- •84. Теория Модильяни-Миллера с учетом корпоративных налогов.
- •85. Модификация теории Модильяни-Миллера для компаний с конечным временем жизни.
70. Опишите портфель из двух бумаг в случае полной корреляции.
Дисперсия портфеля из двух бумаг равна:
В случае полной корреляции .
Для квадрата риска дисперсии портфеля получаем:
==
Если извлечь корень из обеих частей получится
Так как все переменные не отрицательны, то модуль можно опустить. Получаем:
Заменяя так что получим
Это уравнение отрезка (АВ), где точки А и В имеют следующие координаты:
t пробегает значения от 0 до 1. При t=0 портфель находится в точке А, при t=1 – в точке В. Таким образом, допустимое множество портфелей в случае полной корреляции ценных бумаг представляет собой отрезок (АB)
71. Опишите портфель из двух бумаг в случае полной антикорреляции.
→
→
Возможен портфель нулевого риска:
→
Т.к. все допустимые портфели цен бум лежат внутри треугольника АВС
- доходность портфеля нулевого риск при антикорреляции
- портфель нулевого риска в случае полной антикорреляции
72. Найдите портфель минимального риска из двух независимых бумаг и его доходность.
Найти портфель минимального риска
Функция Лагранжа
→ → →
- портфель минимального риска при 2 незав бум
- доходность портфеля
73. Для портфеля из трех независимых бумаг найдите портфель минимального риска и его доходность.
Найти портфель минимального риска
Функция Лагранжа
,
Выразим через
Отсюда:
– портфель минимального риска в случае трех независимых бумаг
– доходность портфеля
76. Выведите уравнение минимальной границы .
-
Для нахождения искомого уравнения необходимо подставить
в выражение для :
Следовательно, подставляя в данное выражение условие получаем:
откуда
A
M
B
77. Доказать, что уравнение минимальной границы является ветвью гиперболы и найти ее асимптоты.
к каноническому виду
Полный квадрат в правой части уравнения:
Каноническое уравнение минимальной границы имеет вид:
=1 или
где
Минимальная граница представляет собой ветвь гиперболы с асимптотами
и абсолютным минимумом
Уравнение асимптот:
78. Найдите портфель Марковица минимального риска при заданной ожидаемой доходности .
Наряду с задачей (1) , при условиях и найдём портфель минимального риска из всех портфелей эффективности не менее заданной – задача (1’). Такой портфель назовём портфелем Марковица.
Для нахождения портфеля рассмотрим оптимизационную задачу: найти минимум целевой функции
при условиях и .
=>
79. Опишите портфель Тобина.
Найти портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности.
при
Переформулируем задачу, исключив .
Составим функцию Лагранжа.
Выразим X из первого, подставим во второе.
Обозначим:
80. Докажите, что прямая является касательной к графику минимальной границы .
Для доказательства найдём точки пересечения гиперболы и прямой , решая совместно их уравнения, убедимся, что такая точка одна.
Приравнивая правые части и , получим
=.
Далее получим квадратное относительно µ уравнение и найдём его корни:
.
Дискриминант данного уравнения равен нулю:
.
Это доказывает, что прямая является касательной к графику минимальной границы .
Найдём теперь координаты точки касания (координаты касательного портфеля):
Итак, эффективность касательного портфеля µT равна:
.
Подставляя найденное значение эффективности µT в уравнение касательной, найдём риск касательного портфеля σТ:
Итак, для координат касательного портфеля имеем