Теория процентов

1. Докажите, что при одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов является более выгодным для периода наращения менее года, а для периода наращения более года более выгодным является наращение по схеме сложных процентов.

f(t) = (1+i)^t < g(t) = 1+ ti, если 0 < t < 1

f(t) = (1+i)^t > g(t) = 1+ ti, если  t >1

         Для второй функции f(t) имеем f’(t)= ln²(1+i)(1+i)^t > 0, следовательно, f(t) является выпуклой вниз функцией при t > 0, а g(t) = 1+it является хордой к f(t), т.к. уравнение f(t)=g(t) или (1+i)^t = 1+itимеет два решения: t=0, t=1.

Следовательно, (1+i)^t < 1+ti, если 0 < t < 1, и (1+i)^t > 1+ti, если t > 1.

2. Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.

3. Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

По второму замечательному пределу , следовательно

Эффективная ставка процента

4. Выведите эффективную процентную ставку в случае простых процентов (3 случая).

• m-кратное начисление процентов

=> iэф=i

• n-ый период начисления

• инфляция

5. Выведите эффективную процентную ставку в случае сложных процентов (3 случая).

• m-кратное начисление процентов

• n-тый период начисления

• инфляция

Эквивалентность различных процентных ставок

7. Эквивалентность простых и сложных процентов

В простейшем случае однократного начисления процентов имеем:

Откуда

В случае m-кратного начисления процентов имеем за n-периодов

Откуда

8. Эквивалентность простых и непрерывных процентов

9. Эквивалентность сложных и непрерывных процентов

Приравняем наращенные суммы в случае начисления сложных и непрерывных процентов за n-периодов

Где

- ставка сложных процентов

- ставка непрерывных процентов

Сокращая это неравенство на , и извлекая из обеих частей корень n степени (для сокращения n в показателе степени), получим

“Правило 70”, “Правило 100”, увеличение капитала в произвольное число раз

10. Выведите “Правило 70” в случае сложных процентов.

отсюда , разлагая по степеням i, получим следовательно, откуда , окончательно получаем

11. Выведите “Правило 70” при кратном начислении процентов в случае сложных процентов.

разлагая по степеням i, получим

12. Выведите “Правило 70” при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

13. Выведите “Правило 100”

отсюда откуда , или (если i выражена в %)

14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке i в случае сложных процентов.

Рассмотрим задачу об увеличении капитала в произвольное (n) число раз в схеме сложных процентов при данной процентной ставке i. Это правило легко получить из формулы сложных процентов.

Действительно, , отсюда . Разлагая по степеням i, получим . Следовательно, , откуда

Учет следующего (квадратичного) по i члена в разложении дает результат

Учитывающий срок роста капитала в n раз на

Таким образом, при рассмотрении задачи об увеличении капитала в произвольное число раз (n) в схеме сложный процентов при данной процентной ставке i необходимо в “Правиле 70” лишь сделать замену