Решение задачи

1. Разложим силу Q на три составляющие T_B, T_C и T_D, направленные соответственно вдоль стержня AB и цепей АС и AD. Для этого, приняв вектор Q за диагональ АА₁, построим силовой параллелепипед, из которого видно, что составляющая T_B сжимает стержень АВ, а составляющие T_C и T_D растягивают цепи АС и AD (рис. 151, б).

2. Соответственно приняв отрезок BE за диагональ, а стержень АВ и цепи АС и AD – за ребра, построим параллелепипед, подобный силовому (см. рис. 151, б).

3. Из подобия параллелепипедов, полученных на рис. 151, б, следует пропорция (а) Q/BE = T_C/AC = T_D/AD = T_B/AB.

4. Длины трех отрезков из четырех, входящих в пропорцию, известны. Длина отрезка BE неизвестна. Найдем ее из рассмотрения прямоугольных треугольников ABE и АСЕ: BE² = AB² - AE² = AB² - (AC² + CE²) = AB² - AC² - AD², откуда BE = sqrt(AB² - AC² - AD²) = sqrt(145² - 80² - 60²) = 105 см.

5. Рассматривая теперь первое отношение пропорции (а) вместе со вторым, а затем с третьим и четвертым, находим T_C = Q*AC/BE = 42*80/105 = 32 кГ; T_D = Q*AD/BE = 42*60/105 = 24 кГ; T_B = Q*AB/BE = 42*145/105 = 58 кГ.

Билет №9

Движение материальной точки. Основной закон динамики точки

Точка, движение которой ничем не ограничено, называется свободной. Свободная точка под действием приложенных сил может двигаться в каком угодно направлении. Задачи, в которых рассматривается свободная точка, решаются при помощи основного уравнения динамики (жирным выделены векторные величины) (а) P = ma.

Если на точку действует только одна сила Р (примером такого движения может служить так называемое свободное падение – движение точки под действием силы тяжести в безвоздушном пространстве), то векторное уравнение (а) заменяется скалярным уравнением (б) P = ma, выражающим зависимость между модулями силы и ускорения.

Если на точку действует несколько сил Р₁, Р₂, ..., Р_n, то векторное уравнение (а) примет вид (в) R = ma, где равнодействующая R=∑P_i и, согласно закону независимости действия сил, a=∑a_i (ускорение точки равно геометрической сумме ускорений, сообщенных ей каждой силой в отдельности).

Векторное равенство (в) заменяется двумя или тремя скалярными равенствами.

Если силы Р₁, Р₂, ..., Р_n, действующие в одной плоскости, спроектировать на две взаимно перпендикулярные оси, получим два скалярных уравнения (уравнения проекций на оси х и у): (г) ∑ X_i = ma_x, ∑ Y_i = ma_y, где a_x и a_y – проекции ускорения а соответственно на ось x и y.

Если система сил, приложенных к точке, – пространственная, то вместо векторного уравнения (в) составляется три скалярных уравнения проекций на оси х, у и z.

Задача

Условие задачи

Свободная материальная точка, вес которой 5 кГ, движется прямолинейно с ускорением 50 см/сек². Определить силу, приложенную к точке.

Решение задачи

Билет №10

Применение принципа Даламбера к решению задач на криволинейное движение точки

Как известно из кинематики, при движении материальной точки по криволинейной траектории ее ускорение a имеет два составляющих ускорения: a_t – касательное (тангенциальное) и a_n – нормальное (центростремительное).

Из динамики уже известно, что ускорение a, приобретенное точкой, есть результат действия определенной системы сил. Равнодействующая P этой системы и ускорение a (рис. 248) находятся в зависимости, выражающей основной закон динамики точки: P = ma.

Если уравновесить силу Р приложением к точке силы инерции Р^и, а затем разложить ее на две составляющие Р_n^и и Р_t^и соответственно по нормали и по касательной, то эти составляющие будут находиться в зависимости от нормальных и касательных ускорений, определяемых такими векторными равенствами: P_n^и = -ma_n и P_t^и = -ma_t.

В задачах на криволинейное движение точки в основном рассматривается нормальная (центробежная) сила инерции P_n^и.

Числовое значение нормальной (центробежной) силы инерции можно выражать следующими формулами: (1) P_n^и = ma_n.

Заменим здесь a_n = v²/R: (2) P_n^и = mv²/R.

Если материальная точка, рассматриваемая в задаче, связана с каким-либо вращающимся телом, то скорость точки удобнее выражать через угловую скорость тела v=ωR и тогда (3) P_n^и = mω²R.

Если в последней формуле выразить массу точки через ее вес m=G/g, а угловую скорость – в об/мин ω=πn/30, то P_n^и = Gπ²n²R/(900g).

Здесь π²≈g (9,86≈9,81), поэтому формуле можно придать такой вид (4) P_n^и ≈ Gn²R/900.

Задача

Условие задачи

Тонкий стержень АВ, центр тяжести которого расположен на его оси O, вращается с угловой скоростью n=3000 об/мин.

На сколько увеличится нагрузка на подшипник, в котором вращается стержень, если на одну из половинок стержня прикрепить массу m=0,5 кг, на расстоянии R=0,1 м от оси вращения (рис. 251, а).