Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Otvety_na_bilety_po_teh_meh.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
218.22 Кб
Скачать

Билет №1.Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями: x = f1(t); (1) y = f2(t); z = f3(t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями: (2) x = f1(t); y = f2(t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме.

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то:

а) траектория плоского движения точки выражается уравнением y = F(x), которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;

б) числовое значение скорости точки находится из формулы v = sqrt(vx2 + vy2) после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат vx = dx/dt и vy = dy/dt;

в) числовое значение ускорения находится из формулы a = sqrt(ax2 + ay2) после предварительного определения проекций ускорения на оси координат ax = dvx/dt и ay = dvy/dt;

г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

Условие задачи

Движение точки A задано уравнениями: x = 2t2 + 2; y = 1,5t2 + 1, где x и y – в см, а t – в сек. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты t0=0 сек, t1=1 и t5=5 сек, а также путь пройденный точкой за 5 сек.

Решение задачи

Билет №2

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R – кривизну) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу an = v2/R, выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда (а) R = v2/an.

Скорость v точки определяется по формуле (б) v = sqrt(vx2 + vy2).

Следовательно, (б') v2 = vx2 + vy2.

Числовое значение нормального ускорения an входит в выражение полного ускорения точки a = sqrt(an2 + at2), откуда (в) an = sqrt(a2 - at2), где квадрат полного ускорения (г) a2 = ax2 + ay2 и касательное ускорение (д) at = dv/dt.

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями x = f1(t); y = f2(t), то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости: vx = f1'(t); vy = f2'(t).

2. Подставив в (б') выражения vx и vy, найти v2.

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б'), найти касательное ускорение at, а затем at2.

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения ax = f1''(t) = vx'; ay = f2''(t) = vy'.

5. Подставив в (г) выражения ax и ay, найти a2.

6. Подставить в (в) значения a2 и at2 и найти an.

7. Подставив в (а) найденные значения v2 и an, получить радиус кривизны R.

Условие задачи

Движение точки задано уравнениями x = 3t; y = 4t - 3t2, (х, у – в см, t – в сек). Определить радиус кривизны траектории в те моменты, когда она пересекает ось Ох.

Решение задачи

Билет№3

Равномерное криволинейное движение точки

Если at = 0 и an ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное an = v2/R, где R – радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный: R = r = const, а так как и числовое значение скорости постоянно, то an = v2/r = const.

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы v = (s - s0)/t или v = s/t.

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r – диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид v = 2πr/T = πd/T.

Условие задачи

Определить, с какими скоростями движутся точки А, В и С, расположенные на концах секундной, минутной и часовой стрелок часов. Принять длину секундной и минутной стрелок равной 14 мм и длину часовой стрелки – 10 мм (рис. 196).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.