Условие задачи

Определить равнодействующую пяти сил: P₁ = 52 н, P₂ = 70 н, P₃ = 69 н, P₄ = 77 н, P₅ = 70 н, действующих на точку А, как показано на рис. 45, а.

Решение методом проекций

1. Так как силы P₁ и P₅ направлены друг к другу под прямым углом, то и совместим с этими силами ось проекций. Тогда векторы P₂, P₃ и ₄ будут образовывать с осями проекций углы, показанные на рис. 45, б.

2. Найдем проекцию равнодействующей на ось х: X_R = P₂ cos 33° + P₃ cos 27° - P₄ cos 49°30' - P₅ = 70 cos 33° + 69 cos 27° - 77 cos 49°30' - 70 = 58,6 + 61,4 - 50 - 70 = 0.

3. Найдем проекцию равнодействующей на ось у: Y_R = P₁ + P₂ sin 33° - P₃ sin 27° - P₄ sin 49°30' = 52 + 70 sin 33° - 69 sin 27° - 77 sin 49°30' = 52 + 38 - 31,4 - 58,6 = 0.

4. Обе проекции искомой равнодействующей равны нулю, значит и сама равнодействующая также равна нулю.

Таким образом, данная система сил уравновешена. Иными словами, любую из пяти заданных сил можно рассматривать как уравновешивающую четыре остальных.

Билет №7

Равновесие трех непараллельных сил

При решении задач определенное практическое значение имеет теорема о равновесии трех непараллельных сил: если три непараллельные силы образуют уравновешенную систему, то линии их действия пересекаются в одной точке.

Эта теорема используется для решения задач в тех случаях, когда на тело действует уравновешенная система трех сил, причем одна сила задана по модулю и направлению, для другой известно лишь направление, а у третьей – неизвестны ни модуль, ни направление.

Задача

Условие задачи

Фонарь весом 9 кГ подвешен на кронштейне ABC (рис. 48, а). Определить реакции горизонтального стержня АВ и наклонной тяги ВС, если AB=1,2 м и BC=1,5 м; крепления в точках А, В и С шарнирные.

Решение графо-аналитическим методом с применением геометрических соотношений

1. В данном случае на шарнир В действуют три силы: вес фонаря G (рис. 48, б) и реакции стержней N_A и N_C, направленные вдоль стержней. Заметим, что стержень АВ сжат, значит реакция N_A направлена от стержня к шарниру, а стержень ВС растянут, поэтому реакция N_C направлена от шарнира к стержню. Шарнир В с действующими на него силами изобразим отдельно.

2. Так как шарнир В под действием этих трех сил находится в равновесии, силовой треугольник, составленный из них, должен быть замкнутым.

Выберем произвольную точку D (рис. 48, в) и отложим от нее отрезок DE, изображающий силу G. Из точек Е и D проведем прямые EF и DF, параллельные соответственно АВ и СВ. В полученном треугольнике DEF сторона EF изображает реакцию N_A (реакцию стержня АВ) и сторона FD – реакцию N_C (реакцию стержня ВС)*.

3. Так как в условии задачи даны линейные размеры кронштейна, величины сил N_A и N_C наиболее просто определить исходя из подобия треугольников ABC и EFD: BC/N_C = BA/N_A = AC/G.

Отсюда N_C = G*BC/AC и N_A = G*BA/AC.

4. Неизвестную в задаче длину АС определяем по теореме Пифагора: AC = sqrt(BC² - BA²) = sqrt(1,5² - 1,2²) = 0,9 м.

5. Окончательно N_C = 9*1,5/0,9 = 15 кГ и N_A = 9*1,2/0,9 = 12 кГ.

Билет №8

Правило параллелепипеда сил

Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.

Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда (рис. 148). Если даны силы P₁, P₂ и P₃, то заменяющая их действие равнодействующая R по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого AB, АС и AD соответствуют трем силам.

В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы P₁, P₂ и P₃ взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед (рис. 149).

В этом случае модуль равнодействующей R = sqrt(P₁² + P₂² + P₃²) а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формулам cos α₁ = P₁/R; cos α₂ = P₂/R; cos α₃ = P₃/R.

Задача

Условие задачи

Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q весом 42 кГ, если АВ=145 см, АС=80 см, AD=60 см. Плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке В шарнирное (рис. 151, а).