7.2 Метод аналитических сетей
Метод аналитических сетей был разработан для исследования сложных ситуаций, связанных с наличием зависимостей и обратных связей между критериями и альтернативами.
Однако многие практические задачи не могут быть представлены иерархическими структурами, поскольку в них существуют зависимости и взаимодействия между элементами различных уровней. Существуют задачи, в которых не только важность критериев влияет на приоритеты альтернатив подобно иерархиям, но и важность альтернатив влияет на приоритеты критериев. Иными словами, в таких задачах существуют обратные связи.
Наличие обратных связей приводит к возникновению циклов, а следовательно – бесконечных маршрутов. Поэтому для вычисления приоритетов требуется применять более сложные, чем в МАИ, алгоритмы.
В последние годы всё более широкое распространение получает метод аналитических сетей (МАС), являющийся развитием и продолжением МАИ на ситуации, когда необходимо учитывать не только зависимости элементов нижнего уровня от элементов ближайшего верхнего уровня, но и более сложные зависимости, в том числе циклические.
В МАС выделяют систему, состоящую из подсистем, подсистемы, состоящие из компонентов, и компоненты, состоящие из элементов. Взаимные влияния элементов в сети отображают в виде суперматрицы, в которой выделяются блоки соответственно компонентам системы. Каждый столбец в блоке представляет собой главный собственный вектор влияния элементов i–го компонента сети на элементы j-го компонента. Нулевые элементы вектора соответствуют элементам, не оказывающим влияния.
Элементы
в суперматрице называются блоками и
представляют собой матрицы вида:
=
.
Каждый столбец в
матрице
представляет собой главный собственный
вектор, определяющий влияние элементов
i-го
компонента сети на элементы j-го
компонента. При этом нулевые элементы
вектора соответствуют отсутствию
влияния.
Процедура работы с суперматрицей заключается в следующем.
Вначале суперматрицу преобразуют к виду, при котором сумма элементов в любом её столбце равна единице. Такие матрицы принято называть стохастическими по столбцам. Для краткости их обычно называют просто стохастическими матрицами. Способ вычисления предельных приоритетов для такой матрицы заключается в нахождении предельной суперматрицы на основе исходной путем возведения последней в степени. При этом элементы предельной суперматрицы интерпретируются как предельные оценки долговременного влияния каждого элемента системы на все остальные.
Поскольку элементы
взвешенной суперматрицы определяют
непосредственное влияние элемента на
другие, то косвенное влияние через один
промежуточный элемент получают путём
возведения суперматрицы в квадрат. Для
оценки влияния через промежуточный
элемент следует возвести суперматрицу
в куб и т.д.
Таким образом, имеем бесконечную последовательность матриц влияния: исходная суперматрица, её квадрат, куб, четвёртая степнь и т.д.
В целом в соответствии с рекомендациями Т.Саати рекомендуется следующая процедура. Матрица W возводится в высокие степени и при этом наблюдается изменение приоритетов. Если результаты возведения матрицы в степени не сходятся к единой матрице, то делается вывод о наличии цикла. При этом длина цикла определяется экспериментально путём сравнения результатов последовательного возведения матрицы в степени. В случае цикличности окончательный результат определяется как чезаровская сумма установленных предельных циклических состояний и берётся среднее.