1.1.6. Отношения между высказываниями.
Простые высказывания А и В назовем сравнимыми, если их термины совпадают с точностью до перестановки.
Простые высказывания А и В назовем несравнимыми, если в высказывании В встречается хотя бы один термин, не входящий в А.
Пример 1. Высказывания «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все веселые люди являются студентами» сравнимы, а высказывания «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все студенты являются находчивыми людьми» ‑ несравнимы, так как во втором суждении встречается термин не входящий в первый.
Для того, чтобы определить отношение
сравнимости и несравнимости между
сложными высказываниями (формулами) А
и В, строится совместная таблица
истинности. Вход таблицы строим как для
высказывания
,
т.е. на входе выписываем объединение
множества переменных из А и В,
а затем вычисляем отдельно истинностные
значения высказываний А и В на
этом совместном наборе.
Пример 2. Рассмотрим формулы
и
.
Объединением множества переменных
будет
.
Совместная таблица имеет вид:
p |
q |
r |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Из совместной таблицы видим, что встречаются все возможные комбинации истинностных значений: (0 1), (1 1), (0 0), (0 1). См. строки 1, 2, 3, 4.
Формулы А и В назовем несравнимыми, если в совместно построенной для них таблице среди сочетаний их истинностных значений встречаются все возможные комбинации.
В примере 2 формулы и ‑ несравнимые.
Формулы А и В назовем сравнимыми, если в совместной таблице среди сочетаний их истинностных значений отсутствует хотя бы одна возможная комбинация.
Пример 3. Суждения
и
сравнимы, потому что в совместной таблице
отсутствует комбинация истинностных
значений (0 1).
p |
q |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Сравнимые высказывания А и В одновременно истинны (ложны), если они принимают значение «И» («Л») в одной и той же строке совместной таблицы.
Среди сравнимых высказываний будем различать совместимые и несовместимые.
Совместимыми назовем высказывания, одновременно истинные или принимающие во всех строках совместной таблицы одни и те же значения.
Несовместимыми назовем высказывания, которые не являются одновременно истинными и не принимают во всех строках совместной таблицы одни и те же значения.