1.1.7 Умозаключения и их классификация.

Предметом анализа здесь будут формальные законы построения умозаключений естественного языка.

Умозаключение ‑ это последовательность суждений (высказываний), в которой последнее утверждение (высказывание) выводится из предыдущих.

Пример умозаключения:

(1) Записка написана на японском или китайском языках.

(2) Это не китайский язык.

(3) Следовательно, это японский язык.

Из чего состоит умозаключение?

Первый элемент ‑ посылки или аксиомы. Это высказывания, из которых выводится последнее высказывание. В примере посылками являются высказывания (1) и (2).

Второй элемент ‑ заключение или вывод. Это высказывание, которое выводится из предыдущих высказываний (посылок). В примере высказывание (3) ‑ заключение.

Третий элемент ‑ логическая связка. Представлена словами «следовательно», «поэтому», «значит», «так как», «ибо» и т.д.

Обозначим умозаключение

,

где ‑ посылки, В ‑ заключение, а знак « » заменяет слово «выводимо» («следует»).

Дедуктивным называется умозаключение, в котором истинность посылок должна гарантировать истинность заключения.

Недедуктивным называется умозаключение, в котором истинность посылок не гарантирует истинность заключения.

Определение дедуктивного умозаключения напоминает отношение логического следования между высказываниями, которое требует невозможности случая одновременной истинности первого высказывания и ложности второго.

Пусть ‑ дедуктивное умозаключение. Так как одновременно истинны высказывания , то конъюнкция истина, поэтому отношение между высказыванием и высказыванием В будет логическим следствием, т.е. ½= В.

Отсюда вытекает критерий правильности дедуктивных умозаключений: дедуктивное умозаключение правильно, если ½= В.

Дедуктивное умозаключение гарантирует истинность заключения при истинности посылок, т.е. оно является надежным. Однако, за надежность следует платить. Надежность дедуктивного умозаключения основывается на том, что оно не расширяет объем знаний субъекта, совершающего умозаключение. Информация, содержащаяся в заключении, составляет лишь часть информации, содержащейся в посылках. В умозаключении ‑

Все люди смертны.

Сократ ‑ человек.

Следовательно, Сократ смертен.

‑ знания о том, что Сократ смертен, уже содержится в знании о том, что все люди смертны и в представлении о том, что Сократ ‑ человек.

Таким образом, дедуктивные умозаключения не расширяют наших знаний о действительности.

Недедуктивные умозаключения не обладают надежностью, присущей дедуктивным умозаключениям, но они могут расширить наши знания. Именно поэтому их применяют в науке.

Имеется классификация умозаключений:

1.1.8 Силлогизмы.

Силлогизм ‑ это правило, позволяющее из истинных высказываний получать новые истинные высказывания. Впервые силлогизмы исследовались еще Аристотелем.

1. Modus рonens (modus ponendo рonens, что означает способ утверждающе утверждающий, или проще ‑ способ утверждающий):

.

Пример. Если человек каждый день смотрит телевизор, то он становится глупее. Этот человек каждый день смотрит телевизор. Следовательно, он становится глупее.

Проверим правильность умозаключения при помощи таблицы:

А	В		В
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	0
1	1	1	1

Из таблицы видно, что нет такого случая, когда первое суждение истинно, а второе ложно, следовательно, между ними имеется отношение логического следования и это умозаключение правильно.

2. Modus tollens (modus tollendo tollens, что означает способ отрицающе отрицающий, или проще ‑ способ отрицающий):

.

Пример. Однажды в исторической науке была сформулирована гипотеза о том, что известный персонаж российской истории Лжедмитрий I учился в школе иезуитов. Тогда же было сформулировано следующее умозаключение: Лжедмитрий I не был воспитанником иезуитов, потому что он плохо знал латынь. Развернем это умозаключение в полную форму:

Если бы Лжедмитрий I был учеником иезуитов, то он хорошо бы знал латынь.

Неверно, что Лжедмитрий I хорошо знал латынь.

Следовательно, Лжедмитрий I не был учеником иезуитов.

Составим таблицу:

А	В
0	0	1	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	0	1

Между и имеется отношение логического следования, поэтому умозаключения по схеме правильные.

3. Транзитивность импликации.

Пример.

Если студент хорошо занимается в течение семестра, то он хорошо сдает сессию. Если студент хорошо сдает сессию, то он получает стипендию.

Следовательно, если студент хорошо занимается в течение семестра, то он получает стипендию.

А	В	С
0	0	0	1	1
0	0	1	1	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

Таблица показывает наличие отношения логического следования между и , следовательно, схема умозаключения правильная.

4. Дизъюнктивный силлогизм.

Пример. На заседании совета директоров генеральный директор произнес фразу: «Нам предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами. Но мы ведь не допустим банкротства».

Мы видим, что в речи генерального директора сформулированы только посылки, и, хотя заключение опущено, умозаключение легко можно реконструировать:

Нам предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами.

Но мы ведь не допустим банкротства.

Следовательно, нам предстоит согласиться на условия банка.

А	В		А
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

Умозаключение правильное.

5. Простая конструктивная дилемма.

Умозаключения, разделительная посылка которых содержит две альтернативы, называются дилеммами, три ‑ трилеммами, четыре и более - полилеммами. В практике рассуждений чаще всего используются дилеммы. Поэтому именно их изучим.

Пример. Если Госбанк будет увеличивать эмиссию денег, то инфляция возрастет. Если Госбанк будет давать нерентабельным предприятиям льготные кредиты, то инфляция возрастет. Но Госбанк или занимается эмиссией денег или дает льготные кредиты нерентабельным предприятиям. Следовательно, нам не избежать скачка инфляции.

Простая конструктивная дилемма является эффективным приемом ораторской практики в силу своей простой структуры и достигаемого эффекта убедительности. Проверим ее.

А	В	С		С
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

Имеется отношение логического следования, умозаключение правильное.

6. Сложная конструктивная дилемма.

Пример.

Если преступники ‑ душевнобольные, то их следует изолировать от общества.

Если преступники душевноздоровые, то их следует наказывать.

Но каждый преступник является или душевнобольным, или душевноздоровым.

Следовательно, преступников следует или изолировать от общества или наказывать.

Проведите проверку этого умозаключения самостоятельно.

7. Простая деструктивная дилемма.

Если конструктивные дилеммы применяются для доказательства какого-либо мнения, то деструктивные дилеммы используют для опровержения (доказательства неверности) какого-либо мнения.

Пример. В современном мире, если вы хотите быть счастливы, нужно иметь много денег. Но всегда было так, что если вы хотите быть счастливы, то нужно иметь чистую совесть. Но мы знаем, что жизнь устроена так, что невозможно одновременно иметь и деньги, и совесть, т.е. или денег нет, или нет совести. Следовательно, оставьте надежду на счастье.

Обозначим «Вы хотите быть счастливым» через А, «Нужно иметь много денег» ‑ через В, « Нужно иметь чистую совесть» ‑ через С, «Оставьте надежду на счастье» ‑ через . Тогда рассуждение примет вид: .

Проверьте правильность умозаключения.

8. Сложная деструктивная дилемма.

Пример. Если он умён, то он увидит свою ошибку. Если он искренен, то признается в ней. Но он или не видит своей ошибки, или не признается в ней. Следовательно, он или не умен, или не искренен.

Эта дилемма помогла нам доказать, что ложно суждение «Он умен» или ложно суждение « Он искренен», но, к сожалению, нам неизвестно, какое из них точно ложно. Однако для того, чтобы скомпрометировать нашего героя, этого вполне достаточно.

Проверьте правильность умозаключения.

9. Сведение к абсурду.

Под абсурдом здесь имеется в виду противоречие, т.е. высказывание вида .

Горизонтальная черта играет здесь ту же роль, что и наш знак « », т.е. заменяет слово «следовательно».

Сведение к абсурду ‑ мощный прием доказательства ложности суждений.

Пример. Мы приезжаем на остров рыцарей и лжецов и встречаем двух туземцев А и В. А говорит: « По крайней мере, один из нас лжец». Кто такой А ‑ рыцарь или лжец?

Решение. Предположим, что А лжец, тогда его высказывание ‑ ложно, однако это означает что ни А, ни В не являются лжецами. Следовательно, А является рыцарем. Но из того, что А по нашему предположению лжец, следует, что он не рыцарь. Получается, что А у нас одновременно рыцарь и не рыцарь. Получилось противоречие. Следовательно наше предположение неверно, и А не является лжецом.

10. Доказательство от противного.

Близкое к сведению к абсурду другое непрямое умозаключение.

Пример. Следователь рассуждает: «Судя по всему, Г. невиновен. Однако предположим обратное. Пусть Г. виновен. Тогда 27 сентября 2009 года он должен был быть на месте преступления в г. Свердловске. Однако свидетель Б. показывает, что Г. был вечером этого дня в Лондоне. Учитывая трудности пересечения границы, вряд ли он смог добраться до Лондона за два часа. Следовательно, он не был 27 сентября 2009 года в Свердловске. Значит, моя гипотеза насчет виновности Г. неверна. Следовательно, Г. невиновен».

Следователь в своем рассуждении применяет метод доказательства от противного. Действительно, обозначим «Г. невиновен» через А, тогда «Г. виновен» будет . Суждение «Г. был в Свердловске 27 сентября 2009 года» обозначим через В, тогда «Г. не был в Свердловске 27 сентября 2009 года» будет иметь вид . При данных обозначениях рассуждения следователя будет иметь вид доказательства от противного.

Контрольные упражнения.

1.1 Определите вид и правильность следующих умозаключений, где не достает заключений, выведите их:

а) Люди содействуют или противодействуют ходу истории.

Этот человек не содействовал ходу истории.

Следовательно, он противодействовал ходу истории.

б) Это действие либо похвально, либо постыдно, либо безразлично.

Оно безразлично.

Следовательно?

в) Наказуемым деянием может быть или преступление, или проступок, или кража имущества.

Действия Х квалифицированы судом как кража имущества.

следовательно, действия Х не являются ни преступлением, ни проступком.

г) Подпись на расписке Х могла быть выполнена только самим Х, или У, или Т.

Установлено, что ни У, ни Т не выполняли подписи на расписке.

Следовательно?

д) Обвиняемый может быть либо исполнителем, либо организатором, либо подстрекателем, либо пособником.

Обвиняемый является организатором совершенного преступления.

Следовательно, он не является исполнителем совершенного преступления.

е) На складе, где работали Иванов, Петров и Сидоров, был совершен поджег.

Известно, что Иванов был в командировке, а Сидоров был мертвецки пьян. Следовательно, поджег совершил Петров.

1.2. «Гений и злодейство ‑ две вещи несовместимые» (А.С.Пушкин)

Какие из следующих выводов из этого суждения сделаны правильно, а какие ‑ нет, и почему?

а) Моцарт ‑ гений. Следовательно, Моцарт ‑ не злодей.

б) Сальери ‑ не гений. Следовательно, Сальери злодей.

в) Моцарт ‑ не злодей. Следовательно, Моцарт ‑ гений.

г) Сальери ‑ злодей. Следовательно, Сальери ‑ не гений.

2.1.

Проанализируйте следующие умозаключения, если необходимо, выведите заключения:

а) Если наука сообщает полезные факты, то она заслуживает внимания.

Если наука упражняет умственные способности, то она заслуживает внимания.

Но каждая наука или сообщает полезные факты, или упражняет умственные способности.

Следовательно?

б) Если я выпрыгну из окна, то я получу ушибы.

Если я пойду по лестнице, то я сгорю.

Но мне придется или выпрыгнуть из окна, или идти по лестнице.

Следовательно?

в) Если вы хотите получить «отлично» по математике, то вам надо регулярно решать задачи.

Если вы хотите получить «отлично» по математике, то вы должны хорошо знать теорию.

Но вы или нерегулярно решали задачи, или не хорошо знали теорию.

Следовательно?

г) Если алиби засвидетельствовано родственниками обвиняемого, то он сам его изобрел.

Если алиби засвидетельствовано друзьями обвиняемого, то он сам его изобрел.

Но алиби этого обвиняемого засвидетельствовано или друзьями, или родственниками обвиняемого.

Следовательно, он сам его изобрел.

д) Если ученик любит учиться, то он не нуждается в поощрении.

Если он чувствует отвращение к учению, то поощрение бесполезно.

Но кажется, что этот ученик или нуждается в поощрении, или во всяком случае, поощрение для него не бесполезно.

Следовательно?

е) Если бы Наполеон был великим человеком, то он был бы последовательным в своих поступках.

Если бы Наполеон был великим человеком, то он вел бы себя достойно на своем острове.

Но известно, что он или не был последовательным в своих поступках, или не вел бы себя достойно на своем острове.

Следовательно?

2.2. Проанализируйте следующие рассуждения, реконструируйте содержащиеся в них дилеммы и попытайтесь выяснить в них ошибки:

а) Один арабский султан так сказал об Александрийской библиотеке: Книги, содержащиеся в этой библиотеке, либо говорят то же самое, что Коран, либо говорят нечто другое, поэтому они либо бесполезны, либо вредны; в обоих случаях их следует сжечь».

б) Если будешь поступать правильно, обидишь людей; если будешь поступать неправильно, обидишь богов; следовательно, не должно вмешиваться в государственные дела.

в) Если женщина, которую вы выберете в жены, красива, она вызывает ревность, если некрасива ‑ становится неприятной; следовательно, не надо жениться.

г) Либо наша душа погибнет вместе с телом, и тогда мы будем неспособны ощущать боль, либо если наша душа переживет тело, она будет более блаженна, нежели в теле; следовательно, не должно бояться смерти.

3.1. Определите, кто из островитян А и В ‑ рыцарь, а кто лжец, и укажите, какие умозаключения при этом используются:

а) А: «По крайней мере, один из нас лжец».

б) А: «Или я ‑ лжец, или В ‑ рыцарь».

в) А: «Если я ‑рыцарь, то В ‑ рыцарь».

Силлогизм	Название силлогизма
PQ, P Q	Modus Ponens (способ утверждающий)
PQ, Q  P	Modus Tollens (способ отрицающий)
PQ, QR P R	Транзитивность импликации (гипотетический силлогизм)
P v Q, P Q	Дизъюнктивный силлогизм
P Q, RQ, P v R Q	Простая конструктивная дилемма
PQ, RS, P v R QvS	Сложная конструктивная дилемма
PQ, PS, Q vS P	Простая деструктивная дилемма
PQ, RS, Q vS P vR	Сложная деструктивная дилемма
P (R&R) P	Сведение к абсурду
 P(R&R) P	Доказательство от противного

Рассуждения, построенные по схеме силлогизмов, правильны именно в силу своей структуры. Использование в рассуждениях таких стандартных схем гарантирует правильность полученных выводов