Типы совместимых высказываний.

Отношение совместимости сводится к трем типам: эквивалентности, частичной совместимости и логическому следованию.

Эквивалентность.

Высказывания А и В эквивалентные, если они принимают одно и то же значение во всех строках построенной для них совместно таблицы.

Отношение эквивалентности мы выше уже обсуждали.

В качестве примера рассмотрим следующий диалог:

‑ Вадим: Ты завтра пойдёшь на лекцию по логике и со мной на концерт?

‑ Ольга: Нет.

Что сказала Ольга? Можно ли интерпретировать ответ Ольги как «я завтра не пойду на лекцию по логике и не пойду с тобой на концерт»?

Решение. Атомы: Р ‑ «я завтра пойду на лекцию по логике», Q ‑ «я завтра пойду на концерт». Ответ Ольги: ‑ «неверно, что я завтра пойду на лекцию по логике и с тобой на концерт». По закону де Моргана , следовательно, ответ Ольги: «я завтра не пойду на лекцию по логике или не пойду с тобой на концерт».

Суждение «я завтра не пойду на лекцию по логике и не пойду с тобой на концерт» имеет формулу: . Составим таблицу истинности полученных формул:

P	Q
0	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0

Таблица показывает, что суждения и разные, поэтому интерпретировать ответ Ольги как «я завтра не пойду на лекцию по логике и не пойду с тобой на концерт» нельзя.

Частичная совместимость.

Высказывания А и В частично совместимые, если в совместной таблице не встречается комбинация значений (0 0), но встречаются все остальные возможные комбинации.

Пример 4. Рассмотрим высказывания и .

p	q
0	0	1	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	1

Эти высказывания находятся в отношении частичной совместимости, так как они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Пример 5. Представьте себе, что Ваш приятель рассказывает такую историю: «Слушай, что со мной было! Я вчера пообещал своему преподавателю, что пойду к нему на лекцию по логике. А своей подруге пообещал, что если я с утра пойду на лекцию по логике, то вечером пойду с ней в кино. И представляешь, я оба обещания не сдержал». Что бы Вы сказали о Вашем приятеле? Проанализируем его слова.

Атомы: p ‑ «Я пойду на лекцию по логике»; q ‑ «Я пойду с тобой в кино». Приятель утверждает, что и высказывание p и высказывание одновременно ложны. Проверим это его утверждение и построим таблицу.

p	q
0	0	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Что мы узнали о приятеле? Что он отчаянный лжец. Он обманул не только профессора и подругу, но и Вас. Два суждения, высказанные им, не могут быть одновременно ложны ( они находятся в отношении частичной совместимости) и, следовательно, два его обещания нельзя не сдержать одновременно.

Логическое следствие.

Высказывание В называется логическим следствием высказывания А (или: В логически следует из А) , если в совместной таблице не встречается комбинация значений (1 0), т.е. не может быть так, чтобы первое высказывание А было истинно, а второе В ‑ ложно.

Логическое следствие принято обозначать: А½= В.

Пример 6. и

p	q
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	0
1	1	0	0

Мы видим, что случай, когда первое высказывание истинно, а второе ложно, отсутствует в таблице, поэтому эти высказывание является логическим следствием высказывания , т. е. ½= .

Далее мы подробно рассмотрим отношение логического следования, так как оно считается самым важным в логике.