11. Построение опорных планов в симплексном методе решения здп.

Симплексный метод – это метод целенаправленного перебора опорных решений задачи. Этот метод позволяет за конечное число шагов расчёта найти оптимальное решение либо установить, что решения не существует. Содержание метода:

1)указать способ нахождения начального опорного решения;

2)указать способ перехода то одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции ближе к оптимальному;

3)задать критерий, который позволяет прекратить перебор решений на оптималном решении или сделать заключение об отсутствии решения.

Пусть имеется задача в канонической форме:

Z(x)=C₁x₁+C₂x₂+…+C_nx_n → max (min)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

. . .

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

x_j≥0; j=1…n

b_i≥0; i=1…m

Замечание. Если какая-либо правая часть отрицательная, то это уравнение нужно умножить на -1.

Любую задачу можно представить в векторной форме.

АХ=В, где называют решением или планом задачи.

Решение, удовлетворяющее всем ограничениям и условиям неотрицательности, называется допустимым. Множество всех допустимых решений образуют область допустимых решений (ОДР). Допустимое решение, доставляющее мин. или макс. целевой функции называется оптимальным решением. Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных называется матрицей условий.

Вектор столбец А₀= из свободных членов называется вектором правых частей.

Замечание. Нахождение оптимального решения может вызвать затруднение с перебором всех опорных решений когда задача имеет бесконечное множество решений или решение отсутствует. По этому вводят специальный параметр θ.

Построение начального опорного решения. Необходимо в каждом уравнении системы найти базисную переменную (которая входит только в одно уравнение с коэффициентом +1). Обозначаю базисную переменную х_iб. х_1б – базисная переменная первого уравнения и т.д. Составляется первая симплекс-таблица следующим образом.

Сб	хб	А0	C1	C2	…	Cn	θ
			х1	х2	…	xn
С1б	х1б	b1			…
С2б	х2б	b2			…
…	…	…	…	…	…	…
Сnб	хnб				…
			Z1-C1	Z2-C2	…	Zn-Cn

Где С_iб коэффициент из целевой функции при соответствующей базисной переменной.

x_jб – базисная переменная из соответствующего уравнения.

b_i – свободные члены системы.

В верхнюю строчку над х выписывают все коэффициенты из целевой функции.

Последнюю строчку называют проверочной. Элементы, входящие в эту строку называются оценками переменных. Столбец А₀ в результате показывает значение целевой функции начального опорного решения.