- •1. Предмет «омм» и задачи курса. Методы и область применения дисциплины.
- •2. Примеры экономических задач
- •5) Задача о рациональном использовании имеющихся мощностей;
- •6) Задача о назначениях
- •3. Классификация моделей и задач в математическом программировании
- •4. Этапы решения экономических задач математическими методами
- •5. Принципы построения экономико-математичеких моделей
- •6, Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.
- •7, Общая и типовая задача в линейном программировании.
- •8, 1. Каждому опорному/базисному решению злп соответствует крайняя угловая точка выпуклого многогранника d, представляющего собой область допустимых решений задачи (*),и наоборот.
- •11. Построение опорных планов в симплексном методе решения здп.
- •12. Критерий оптимальности
- •15. Симплекс-метод с искусственным базисом.
- •16. Симметричные двойственные задачи и правила их построения.
- •17. Теоремы двойственности.
- •18. Теорема двойственности
- •21. Модели транспортной задачи
- •23.Метод потенциалов
- •26)Задача о назначениях.
- •27) Решение злп с использованием пк.
- •28)Определение дефицитных видов ресурсов и убыточных видов продукции.
- •29)Определение границ устойчивости двойственных оценок.
- •30) Экономические примеры, математическая постановка задачи целочисленного программирования.
- •32. Составление дополнительных ограничений
- •33.Метод Гомори
- •34.Метод ветвей и границ
- •35. Причины возникновения и примеры нелинейностей в оптимизационных экономических задачах
- •36 Квадратичное программирование
- •37. . Економічна постановка і математична модель задачі нелінійного програмування
- •5.10. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •38. Множники Лагранжа
- •39.Необхідні умови існування сідлової точки
- •40,Теорема Куна-Таккера
- •41. Разница между глобальным и локальным оптимумом, точным и приближенным решением задачи.
- •Приближенные вычисления
- •Погрешности
- •Значащие цифры
- •Округление
- •Действия над приближенными числами
- •42. Игра как математическая модель конфликта.
- •43. Матричные игры двух лиц. Два игрока/две стратегии
- •Функция полезности
- •Игры с полной/неполной информацией
- •Формальное представление
- •44. Решение матричных игр: доминирование строк и столбцов.
- •45. Решение матричных игр: аффинные преобразования.
- •46. Решение матричных игр графическим способом.
- •47. Решение матричных игр аналитическим способом.
- •48. Сведение матричных игр к задаче линейного программирования.
- •49. Понятие о динамическом программировании.
- •50. Принцип Беллмана.
- •51. Понятие о стохастическом программировании. Классификация задач.
48. Сведение матричных игр к задаче линейного программирования.
Рассмотрим сведение матричной игры к задаче линейного программирования. Пусть игра задана платежной матрицей . Игроку А необходимо найти такую смешанную стратегию , что при любом поведении игрока В он получит выигрыш не меньше некоторого числа n. Этому утверждению соответствует следующая система неравенств:
Цель игрока А: . В такой постановке получили задачу линейного программирования с переменными , причем все переменные неотрицательны ( как вероятность, считаем n > 0). Значит, эту задачу можно решить симплексным методом.
На практике задачу еще упрощают. Все неравенства можно разделить на n > 0 и ввести новые переменные . С учетом равенства рассматривают функцию . Т.к. , то . Получаем задачу линейного программирования (для игрока А):
Найти значения переменных , которые удовлетворяют системе ограничений:
и обращают в минимум целевую функцию:
Как было отмечено, решается задача симплексным методом.
Аналогично, составляется задача линейного программирования для игрока В (двойственная по отношению к задаче для игрока А):
Найти значения переменных , которые удовлетворяют системе ограничений:
и обращают в минимум целевую функцию:
По найденным значениям переменных находят цену игры и компоненты смешанных стратегий игроков. Если матрицу предварительно преобразовывали, то в конце цену игры необходимо уменьшить на значение g. Значение цены игры является общим для обоих игроков.
В некоторых случаях используют приближенные методы решения матричных игр, например, метод фиктивного разыгрывания (метод Брауна-Робинсон).
49. Понятие о динамическом программировании.
Динамическое программирование в математике и теории вычислительных систем — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой, выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.
Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.
Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.
Динамическое программирование обычно применяется к задачам, в которых искомый ответ состоит из частей, каждая из которых в свою очередь дает оптимальное решение некоторой подзадачи.
Динамическое программирование полезно, если на разных путях многократно встречаются одни и те же подзадачи; основной технический приём — запоминать решения встречающихся подзадач на случай, если та же подзадача встретится вновь.
В типичном случае динамическое программирование применяется к задачам оптимизации. У такой задачи может быть много возможных решений, но требуется выбрать оптимальное решение, при котором значение некоторого параметра будет минимальным или максимальным.
Типовой алгоритм решения задач методом динамического программирования:
-
Описать строение оптимальных решений.
-
Выписать рекуррентное соотношение, связывающие оптимальные значения параметра для подзадач.
-
Двигаясь снизу вверх, вычислить оптимальное значение параметра для подзадач.
-
Пользуясь полученной информацией, построить оптимальное решение.