8, 1. Каждому опорному/базисному решению злп соответствует крайняя угловая точка выпуклого многогранника d, представляющего собой область допустимых решений задачи (*),и наоборот.

2. Целевая функция z ЗЛП (*) достигает своего оптимума в крайней точке выпуклого многогранника D, порожденного условиями задачи (*). Если целевая функция z ЗЛП (*) достигает своего оптимума более чем в одной крайней точке выпуклого многогранника D, порожденного условиями задачи (*), то она достигает своего оптимума в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией данных крайних точек.

Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.      Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Теорема. Если система векторов  содержит m линейно независимых векторов , то допустимый план                                        (2. 10)      является крайней точкой многогранника планов.      Теорема. Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.

9, Для более полного представления о задаче линейного программирования сделаем её геометрическую интерпретацию. Совокупность любого числа линейных ограничений выделяет в пространстве x1, x1,..., xn некоторый выпуклый многогранник, ограничивающий область допустимых значений переменных (ОДЗП). Геометрическую интерпретацию и решение задачи линейного программированиянетрудно получить лишь в простейших случаях при n = 2 или n = 3. Рассмотрим задачу: max{F(x)= c1x1+ c2x2|( aj1x1+ aj2x2)≥(≤)bj,j=1,m; x1≥0, x2≥0}.

Каждое из ограничивающих неравенств определяет полуплоскость, лежащую по одну сторону прямой a aj1x1+ aj2x2)=bj , j = 1,m. ОДЗП получится в результате пересечения m полуплоскостей. Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотрением положительного квадранта.На рис. 1 показан один из возможных вариантов ОДЗП в виде замкнутого многоугольника для случая m = 3.

Рисунок 1 - Графическая интерпретация задачи линейного программирования

Координаты x1 и x2 любой точки, принадлежащей области, удовлетворяют системе ограничений задачи линейного программирования. Чтобы найти оптимальное решение, зададим функции цели некоторое постоянное значение F1 = c1x1 + c2x2 = const и построим прямую F1, которая будет отсекать на оси ординат (x1 = 0) отрезок , x2=F1/c2 а на оси абсцисс (x2=0) – отрезок x1=F1/c1. Если задать другие значения функции цели F2 , F3 ,... и изобразить соответствующие линии, то получим семейство параллельных прямых, которые называются линиями уровня функции цели. Направление стрелки показывает направление увеличения целевой функции F1 < F2 < F3 < .... Величину функции цели можно характеризовать расстоянием d от начала координат до линии уровня в соответствии с выражением d=(F1/F2)cosα.

В теории линейного программирования доказано, что если оптимальное решение задачи линейного программирования существует и единственно, то оно достигается в некоторой вершине многоугольника решений. Очевидно, что целевая функция достигает максимального значения тогда, когда её линия будет проходить через точку M. Координаты этой точки будут оптимальным решением задачи. Минимальное значение рассматриваемой функции будет достигаться в начале координат. Таким образом, если требуется определить такие x1 и x2, которые обеспечивают максимум функции цели, то геометрически это означает, что необходимо провести прямую F = const , проходящую хотя бы через одну вершину области и имеющую максимальное расстояние d от начала координат.

В случае минимизации это расстояние должно быть минимальным. В зависимости от вида ОДЗП и расположения линий уровня могут встретиться случаи, изображенные на рис. 2.

Рис. 2 - Различные варианты решения задач линейного программирования

На рис.2, а функция F достигает минимума в начале координат. При максимизации функции ее линия совпадает со стороной ВС, ограничивающей ОДЗП. Координаты любой точки отрезка ВС будут доставлять максимум функции F, что соответствует бесчисленному множеству оптимальных решений задачи линейного программирования.

На рис. 2, б ОДЗП не замкнута, целевая функция сверху не ограничена, т.е. максимального значения не имеет. Минимальное значение функция принимает в точке A.

На рис. 2, в приведен случай несовместных ограничений, в этом случае функция цели не имеет ни максимума, ни минимума, так как ОДЗП представляет собой пустое множество.

10.Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, то есть ограничения содержат две переменные. Найти минимальное значение функции

При

(2) : a11x1+a22x2<= b1, a21x1+a22x2<=b2

X1,x2>0

Допустим, что система (2) при условии (3) совместна и её многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2) и (3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: . Линейная функция (1) при фиксированных значениях  является уравнением прямой линии: . Построим многоугольник решений системы ограничений (2) и график линейной функции (1) при . Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая  опорная и функция  при этом достигает минимума.

Значения  возрастают в направлении вектора , поэтому прямую  передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора . Прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках  и ), причем минимальное значение принимает в точке . Координаты точки  находим, решая систему уравнений прямых  и .

Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.

Случай 1. Прямая , передвигаясь в направлении вектора  или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу.

Случай 2. Прямая, передвигаясь, всё же становится опорной относительно многоугольника решений. Тогда в зависимости от вида области линейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу, ограниченной снизу и неограниченной сверху, либо ограниченной как снизу, так и сверху.