38. Множники Лагранжа

Для розв'язування задач нелінійного програмування не існує універсального методу, а тому доводиться застосовувати багато методів і обчислювальних алгоритмів, які ґрунтуються, здебільшого, на теорії диференціального числення, і вибір їх залежить від конкретної постановки задачі та форми економіко-математичної моделі.

Методи нелінійного програмування бувають прямі та непрямі. Прямими методами оптимальні розв'язки відшукують у напрямку найшвидшого збільшення (зменшення) цільової функції. Типовими для цієї групи методів є градієнти. Непрямі методи полягають у зведенні задачі до такої, знаходження оптимуму якої вдається спростити. До них належать, насамперед, найбільш розроблені методи квадратичного та сепарабельного програмування.

Оптимізаційні задачі, на змінні яких не накладаються обмеження, розв'язують методами класичної математики. Оптимізацією з обмеженнями-рівностями виконують методами зведеного градієнта, скажімо методом Якобі, та множників Лагранжа. У задачах оптимізації з обмеженнями-нерівностями досліджують необхідні та достатні умови існування екстремуму Куна—Таккера.

Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої задачі нелінійного програмування:

Z =f (х₁, х₂... х_п) —> mах (min) за умов

q1(x1,x2,…xn)=bi,i=1, де функція f (х1, x₂, ..., х_п) i q1(x1, x2, …xn) диференційовані.

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження екстремуму складнішої функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і подається у вигляді

де λi— не визначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.

Знайшовши частинні похідні функції L за всіма змінними і прирівнявши їх до нуля:

запишемо систему

що є, як правило, нелінійною.

Розв'язавши цю систему, знайдемо X* =(х1, x2, ..., х_п) i λ0= (λ1, λ ₂, ..., λm) — стаціонарні точки. Оскільки їх визначено з необхідної умови екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум. Іноді стаціонарна

39.Необхідні умови існування сідлової точки

Для розробки методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа в (n+m)-вимірному просторі змінних при довільних умовах, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа при відсутності обмежень на знаки змінних розглянуто в § 5.12).

Розглянемо нелінійну здачу:

Причому на компоненти векторів накладено обмеження по знаку. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження .

Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:= (5.42)

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (5.42), якщо для всіх виконується співвідношення (5.43)

Для диференційованих функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.

Сідлова точка функції виду (5.42) за означенням задовольняє умову:

Нерівність виконується для всіх точок , тобто також і для тих у яких лише одна координата відрізняється від . Припустимо, що це , а всі інші співпадають з координатами сідлової точки .

Оскільки права частина нерівності є фіксована а в лівій частині змінюється лише одна координата , то приходимо до функції однієї змінної , яку можна зобразити графічно на координатній площині.

Розглянемо спочатку випадок , тобто лише частину координатної площини для якої .

Можливі наступні випадки:

1) коли всі максимальне значення функції L(x_k) досягатиметься в точці для якої (рис.5.11).

2)коли точка максимуму функції L(x_k) досягатиметься в точці і розглядувана частинна похідна також дорівнюватиме нулю: (рис. 5.12).

коли точка максимуму функції L(x_k) досягатиметься також в точці , а частинна похідна

Узагальнюючи всі три ситуації маємо:

для , та .

Розглядаючи другу частину нерівності (4.43)

аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис. 5.14.-5.16. встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.

Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:

для тих індексів j де (5.44)

Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на мал. 5.11.-5.16, причому графіки будуть симетрично відображені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

для тих індексів j де (5.45)

І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак умов не накладається, то необхідна умова

, – довільного знаку (5.46)

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння: (5.47)

Розглядаючи другу частину нерівності (5.43) за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:

для тих індексів і де , (5.48)

для тих індексів і де , (5.49)

для тих індексів і де має довільний знак (5.50)

Отже справджується рівняння: (5.51)

Сукупність співвідношень (5.44)-(5.51) становить необхідні умови, які повинна задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .