Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_po_omm (2).doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
1.25 Mб
Скачать

45. Решение матричных игр: аффинные преобразования.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным, если

  • оно взаимно однозначно;

  • образом любой прямой является прямая.

Преобразование называется взаимно однозначным, если

  • разные точки переходят в разные;

  • в каждую точку переходит какая-то точка.

Однородные координаты

Определение. Однородные координаты — координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число.

Однородными координатами вектора (х, у) является тройка чисел (x', y', h), где х = х' / h, у = y'/h, а h — некоторое вещественное число (случай, когда h = 0 является особым).  

Прим. Данные координаты не позволяют однозначно задать точку плоскости. Например, (1, 1, 1) и (2, 2, 2) задают одну и ту же точку (1, 1). Предлагается взять набор (x, y, 1), который будет описывать все точки плоскости.

Матрица преобразования для однородных координат имеет размер 3х3. Рассмотрим некоторые преобразования в однородных координатах. 

Сжатие/растяжение

Это преобразование умножает соответствующие координаты точек на коэффициенты масштабирования по осям: (x, y) -> (ax * x, ay * y). Матрица преобразования запишется следующим образом:

[  ax   0    0  ]     

[  0    ay   0  ]

[  0    0    1  ] 

Где      ax – растяжение по оси x,

ay  – растяжение по оси y.

Прим. Можно заметить, что при отрицательных значениях коэффициентов сжатия/растяжения происходит отражение относительно соответствующих осей. Этот случай можно включить в данное преобразование, а можно вынести в отдельное, сказав, что коэффициенты масштабирования принимают только положительные значения.

Поворот

Матрица поворота 2x2 была подробно разобрана ранее. Теперь она дополняется строкой и столбцом:

[   cos(phi)    sin(phi)   0  ]                            

[  -sin(phi)    cos(phi)   0  ]

[   0           0          1  ] 

Прим. При угле phi = п эта матрица задает центральную симметрию относительно начала координат, которая является частным случаем поворота. Можно заметить, что такую симметрию можно задать с помощью преобразования сжатия/растяжения (допуская отрицательные коэффициенты масштабирования).

Параллельный перенос 

Исходный вектор (x, y) переходит в (x + tx, y + ty). Матрица преобразования запишется следующим образом: 

[  1    0    0  ]    

[  0    1    0  ]

[  tx   ty   1  ]

Отражение 

Как говорилось в примечании к преобразованию сжатия/растяжения, отражения получаются следующим образом:

[  -1    0    0  ]    

[   0    1    0  ]

[   0    0    1  ] отражение относительно оси x

[   1    0    0  ]    

[   0   -1    0  ]

[   0    0    1  ] отражение относительно оси y

Общий вид аффинного преобразования

Матрица 3x3, последний столбец которой равен ( 0  0  1 )T, задает аффинное преобразование плоскости:

[   *    *    0  ]    

[   *    *    0  ]

[   *    *    1  ]

По одному из свойств, аффинное преобразование можно записать в виде:

f(x) = x * R + t,

где R – обратимая матрица 2x2, а t – произвольный вектор. В однородных координатах это запишется следующим образом:

[ R1,1     R1,2       0 ] 

[ R2,1     R2,2       0 ]

[ tx       ty        1 ]

Если умножить вектор-строку на эту матрицу получаем результат преобразования:

[ x   y   1 ]   *   [ R1,1         R1,2       0 ]

      [ R2,1         R2,2       0 ]

                    [ tx           ty        1 ]

=

[ x’   y’   1 ]   +   [ tx   ty    1 ]

При этом [ x’   y’ ]   =   R   *   [ x   y ]

Прим. При аффинном преобразовании площади всех фигур изменяются в |R|. Т.о. аффинное преобразование представляется в виде композиции некоторого преобразования, задаваемого матрицей R, и параллельного переноса.

Матрица R определяет новый базис плоскости. Т.е. вектор (1, 0) переходит в (R1,1, R1,2), вектор (0, 1) переходит в (R2,1, R2,2). Новый базис это строки матрицы R.

Пример.

При отражении относительно оси y, базисный вектор по оси ординат сохраняется, а по оси абсцисс переходит в (-1, 0). Т.о. матрица R будет выглядеть следующим образом:

[  -1   0  ] [   0   1  ] Теперь становится ясно, что кроме вышеперечисленных преобразований, с помощью аффинного преобразования можно получить скос:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]