17. Теоремы двойственности.

Любой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу, которую называют двойственной или сопряжённой.

Двойственные задачи бывают симметричными и несимметричными.

Теорема 1.

Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то двойственная к ней имеет оптимальное решение, при чём значение целевой функции на своих оптимальных решениях совпадают. Если же одна из пары двойственных задач не имеет решения, то и другая также не имеет решения.

Теорема 2.

Для того чтобы допустимое решение исходной задачи являлось оптимальным решением необходимо и достаточно, чтобы при подстановке оптимального решения в систему ограничений исходной задачи выполнялось как строгое неравенство. И тогда при этом i-тая координата оптимального решения двойственной задачи равна 0. Если же i-тая координата оптимального решения двойственной задачи отлична от 0, то i-тое ограничение исходной задачи удовлетворяется как равенство.

18. Теорема двойственности

Для су­ществования оптимального плана любой из пары двойст­венных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них.

Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функ­ций равны: . Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.

Экономическое содержание первой теоремы двойствен­ности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продук­ции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммар­ной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти планы были опти­мальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойст­венные оценки, обладают тем свойством, что они гаранти­руют рентабельность оптимального плана, т. е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обусловливают убыточность всякого другого плана, отличного от опти­мального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты системы.

19. Оценки как мера дефицитности ресурсов. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность факторов производства. Чем выше величина оценки , тем выше дефицитность i-го ресурса. Факторы, получившие нулевые оценки, не являются дефицитными и не ограничивают производство.

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на значение целевой функции. Величина двойственной оценки какого-либо ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу. В связи с этим значение объективно обусловленной оценки иногда называют теневой ценой ресурса. Теневая цена - это стоимость единицы ресурса в оптимальном решении.

Однако нужно учитывать, что двойственные оценки позволяют измерить эффективность лишь незначительного изменения объема ресурсов. При значительных изменениях может быть получен новый оптимальный план и новые двойственные оценки.

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных хозяйственных решений. С помощью двойственных оценок можно определить выгодность выпуска новых изделий, эффективность новых технологических способов производства. При этом эффективным может считаться тот вариант производства, для которого сумма прибыли, недополученной из-за отвлечения дефицитных ресурсов, будет меньше прибыли получаемой. Разница между этими величинами (Δ_j) вычисляется как:

(2.9)

В том случае, если Δ_j ≤ 0, вариант производства является выгодным, если Δ_j > 0 – вариант невыгоден.

20. Третья теорема двойственности позволяет определить зависимость изменения целевой функции начальной задачи от изменения запасов "ресурсов": ( В формулировке для несимметричной двойственной задачи)

Если i-ая компонента  оптимального плана исходной задачи строго положительна, то i-ое ограничение двойственной задачи при подстановке в нее оптимального плана превращается в строгое равенство

 .

Если i-ая компонента  оптимального плана исходной задачи равна нулю, то i-ое ограничение двойственной задачи при подстановке в нее оптимального плана имеет вид

 .

Доказательство.

Еще раз вспомним симплекс-метод и симплекс-таблицу для оптимального плана. Там получалось, что если , то , если же , то .

Но. согласно предыдущей теореме,

,то есть  есть i-ая строка матрицы . Опять же, при доказательстве предыдущей теоремы было получено соотношение

,

так что i-ая строка матрицы

имеет вид

 .

Поэтому, если ,

то должно быть

и

 .

Если же ,

то должно быть

, то есть

 .

Теорема доказана.

Отметим в заключение, что для симметричных двойственных задач эта теорема звучит так:

Теорема 3. (В формулировке для симметричной двойственной задачи).

Если i-ая компонента оптимального плана какой-то задачи положительна, то i-ое ограничение двойственной ей задачи, при подстановке в не оптимального плана, превращается в строгое равенство.

Наоборот, если i-ое ограничение какой-то задачи, при подстановке в него оптимального плана, превращается в строгое неравенство, то i-ая компонента оптимального плана двойственной ей задачи равна нулю.