43. Матричные игры двух лиц. Два игрока/две стратегии

	Игрок 2 L	Игрок 2 R
Игрок 1 U	4, 3	–1, –1
Игрок 1 D	0, 0	3, 4
Нормальная форма для игры с 2 игроками, у каждого из которых по 2 стратегии.

Случай двух игроков — двух чистых стратегий отображен на таблице. Чистые стратегии первого игрока: U и D. Чистые стратегии второго игрока: L и R. Если первый игрок выбирает U, а второй игрок (единовременно) выбирает L, то соответствующие платежи равны 4 и 3 (первый элемент вектора (4, 3) обозначает платеж первого игрока, а второй — платеж второго игрока в случае, если были выбраны стратегии U и L). То есть чтобы найти распределение платежей, соответствующих каждому набору сыгранных стратегий, необходимо просто найти вектор, находящийся на пересечении соответствующих рядов и колонок таблицы (ряды соответствуют стратегиям первого игрока, а колонки — стратегиям второго игрока). Сыгранная комбинация стратегий называется исходом игры. В данном примере исход игры (U, L). Все возможные исходы для этой игры: {(U, L), (U, R), (D, L), (D, R)}. Очевидно, каждая ячейка таблицы соответствует одному из возможных исходов.

Функция полезности

В общем случае предполагается, что игрок имеет предпочтения на множестве исходов. То есть для каждого игрока заданы бинарные отношения между элементами этого множества. Это значит, что игрок может сравнить любые два исхода: игрок или отдает предпочтение одному из двух исходов или остаться безразличным между обоими исходами. При определенных дополнительных предположениях относительно предпочтений игрока можно показать, что существует функция полезности Неймана-Монгенштерна представляющая полезность каждого исхода как действительное число u(s), при чем если u(s)≥u(s’) <=> игрок предпочитает (или безразличен) исход s исходу s’. В нашем примере первый игрок предпочитает исход (U, L) исходу (D, R) так как 4>3.

Игры с полной/неполной информацией

В играх с полной информацией описание игры известно всем игрокам (все игроки знают чистые стратегии и функции полезности всех остальных игроков). В играх с неполной информацией некоторые игроки могут не знать функции полезности других игроков (то есть не знать некоторые конкретные значения для ячеек таблицы из нашего примера).

Любая игра в экстенсивной форме может быть представлена игрой в нормальной форме (не обязательно эквивалентной). Представление игры в нормальной форме может быть использовано для нахождения доминируемых стратегий.

Формальное представление

 — множество игроков

У каждого игрока имеется конечный набор чистых стратегий S_i

Исход игры — это комбинация чистых стратегий каждого игрока:

где

Функция полезности i-го игрока (функция платежа):

Def.: В нормальной форме игра представляется как множество:

где:

 — множество множеств чистых стратегий каждого игрока,

 — множество функций платежей для каждого игрока

44. Решение матричных игр: доминирование строк и столбцов.

Матричную игру можно упростить, выявив доминирование одних стратегий над другими. Рассмотрим такую ситуацию.

Для игры с платёжной матрицей  рассмотрим две стратегии игрока А –  и  такие, что

Стратегия  называется доминирующей, а стратегия  − доминируемой.

Если для той же матричной игры рассмотреть две стратегии игрока В -  и  такие, что

то стратегия  называется доминирующей, а стратегия  − доминиру-емой.

Если в платёжной матрице есть одинаковые строки (столбцы), то соответствующие стратегии игрока А (игрока В) называются дублирующими.

В матричной игре доминируемые и дублирующие стратегии называются излишними, поэтому их можно опускать, упрощая тем самым матричную игру. Для этого в платёжной матрице вычёркивают строки или столбцы, соответствующие излишним стратегиям игроков.