- •1. Предмет «омм» и задачи курса. Методы и область применения дисциплины.
- •2. Примеры экономических задач
- •5) Задача о рациональном использовании имеющихся мощностей;
- •6) Задача о назначениях
- •3. Классификация моделей и задач в математическом программировании
- •4. Этапы решения экономических задач математическими методами
- •5. Принципы построения экономико-математичеких моделей
- •6, Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.
- •7, Общая и типовая задача в линейном программировании.
- •8, 1. Каждому опорному/базисному решению злп соответствует крайняя угловая точка выпуклого многогранника d, представляющего собой область допустимых решений задачи (*),и наоборот.
- •11. Построение опорных планов в симплексном методе решения здп.
- •12. Критерий оптимальности
- •15. Симплекс-метод с искусственным базисом.
- •16. Симметричные двойственные задачи и правила их построения.
- •17. Теоремы двойственности.
- •18. Теорема двойственности
- •21. Модели транспортной задачи
- •23.Метод потенциалов
- •26)Задача о назначениях.
- •27) Решение злп с использованием пк.
- •28)Определение дефицитных видов ресурсов и убыточных видов продукции.
- •29)Определение границ устойчивости двойственных оценок.
- •30) Экономические примеры, математическая постановка задачи целочисленного программирования.
- •32. Составление дополнительных ограничений
- •33.Метод Гомори
- •34.Метод ветвей и границ
- •35. Причины возникновения и примеры нелинейностей в оптимизационных экономических задачах
- •36 Квадратичное программирование
- •37. . Економічна постановка і математична модель задачі нелінійного програмування
- •5.10. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •38. Множники Лагранжа
- •39.Необхідні умови існування сідлової точки
- •40,Теорема Куна-Таккера
- •41. Разница между глобальным и локальным оптимумом, точным и приближенным решением задачи.
- •Приближенные вычисления
- •Погрешности
- •Значащие цифры
- •Округление
- •Действия над приближенными числами
- •42. Игра как математическая модель конфликта.
- •43. Матричные игры двух лиц. Два игрока/две стратегии
- •Функция полезности
- •Игры с полной/неполной информацией
- •Формальное представление
- •44. Решение матричных игр: доминирование строк и столбцов.
- •45. Решение матричных игр: аффинные преобразования.
- •46. Решение матричных игр графическим способом.
- •47. Решение матричных игр аналитическим способом.
- •48. Сведение матричных игр к задаче линейного программирования.
- •49. Понятие о динамическом программировании.
- •50. Принцип Беллмана.
- •51. Понятие о стохастическом программировании. Классификация задач.
40,Теорема Куна-Таккера
Розглянутий метод множників Лагранжа дає можливість знаходити лише локальні сідлові точки функції Лагранжа.
Теорема Куна-Таккера дає можливість встановити типи задач для яких на множині допустимих розв’язків локальний екстремум є і глобальним екстремумом зумовленого типу.
Теорема Куна-Таккера тісно пов’язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки.
Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, представимо у вигляді:
(5.52)
(5.53)
(5.54)
(Очевидно знак нерівності можна змінити на протилежний множенням лівої і правої частини обмеження на (-1)).
Теорема 5.1. (Теорема Куна-Таккера). Вектор є оптимальним розв’язком задачі (5.52)-(5.54) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх пара є сідловою точкою функції Лагранжа
,
і функція є для всіх угнута, а функції – опуклі.
Доведення. Необхідність. Нехай – оптимальний план задачі (5.52)-(5.53), тобто визначає точку глобального максимуму задачі. Отже для всіх інших планів задачі з множини допустимих розв’язків виконуватиметься співвідношення:
Розглянемо тепер вектор , що відповідає точці глобального максимуму і значення функції Лагранжа в точках , , де довільний план задачі з множини допустимих розв’язків, – вектор множників Лагранжа, що відповідає Х.
З умови (5.51) маємо , тоді
(5.55)
Для точки з координатами деякі доданки виду можуть бути відмінні від нуля. Оскільки за умовою задачі , то лише при умові, що матимемо нерівність:
.
Функція – лінійна відносно , тобто остання нерівність виконується для будь-якого . Отже точка – точка глобального мінімуму по функції Лагранжа.
Для встановлення нерівності, що відповідає лівій частині умови (5.43), а саме скористаємося також рівнянням (5.51), просумувавши його по і: . За умовою теореми – угнуті функції і , тому виконується наступне рівняння:
Отже у точці функція Лагранжа має глобальний максимум по Х, що повністю доводить необхідність теореми.
Достатність. Для доведення достатності умови теореми потрібно з того, що , – сідлова точка функції (тобто для виконується (5.43)) довести, що тоді – є оптимальний план задачі опуклого програмування.
У (5.43) підставимо вираз функції Лагранжа (5.42) для задачі (5.52)-(5.53):
+
(5.56)
при всіх значеннях .
Розглянемо праву частину подвійної нерівності (5.56).
Остання нерівність має виконуватися для всіх , крім того , тобто нерівність справедлива лише у випадку, коли
.
Тоді з лівої частини нерівності (5.56) маємо:
Так як , то приходимо до нерівності , яка справедлива для всіх значень .
Отже, точка задовольняє обмеження і надає максимального значення цільовій функції задачі, так як для всіх інших функція приймає менші значення ніж в точці , тобто вона є оптимальним планом задачі нелінійного програмування. Достатність умов теореми доведено.
Умови теореми Куна-Таккера виконуються лише для задач, що містять опуклі функції.