Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_po_omm (2).doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
1.25 Mб
Скачать

40,Теорема Куна-Таккера

Розглянутий метод множників Лагранжа дає можливість знаходити лише локальні сідлові точки функції Лагранжа.

Теорема Куна-Таккера дає можливість встановити типи задач для яких на множині допустимих розв’язків локальний екстремум є і глобальним екстремумом зумовленого типу.

Теорема Куна-Таккера тісно пов’язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки.

Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, представимо у вигляді:

(5.52)

(5.53)

(5.54)

(Очевидно знак нерівності можна змінити на протилежний множенням лівої і правої частини обмеження на (-1)).

Теорема 5.1. (Теорема Куна-Таккера). Вектор є оптимальним розв’язком задачі (5.52)-(5.54) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх пара є сідловою точкою функції Лагранжа

,

і функція є для всіх угнута, а функції – опуклі.

Доведення. Необхідність. Нехай – оптимальний план задачі (5.52)-(5.53), тобто визначає точку глобального максимуму задачі. Отже для всіх інших планів задачі з множини допустимих розв’язків виконуватиметься співвідношення:

Розглянемо тепер вектор , що відповідає точці глобального максимуму і значення функції Лагранжа в точках , , де довільний план задачі з множини допустимих розв’язків, – вектор множників Лагранжа, що відповідає Х.

З умови (5.51) маємо , тоді

(5.55)

Для точки з координатами деякі доданки виду можуть бути відмінні від нуля. Оскільки за умовою задачі , то лише при умові, що матимемо нерівність:

.

Функція – лінійна відносно , тобто остання нерівність виконується для будь-якого . Отже точка – точка глобального мінімуму по функції Лагранжа.

Для встановлення нерівності, що відповідає лівій частині умови (5.43), а саме скористаємося також рівнянням (5.51), просумувавши його по і: . За умовою теореми – угнуті функції і , тому виконується наступне рівняння:

Отже у точці функція Лагранжа має глобальний максимум по Х, що повністю доводить необхідність теореми.

Достатність. Для доведення достатності умови теореми потрібно з того, що , – сідлова точка функції (тобто для виконується (5.43)) довести, що тоді – є оптимальний план задачі опуклого програмування.

У (5.43) підставимо вираз функції Лагранжа (5.42) для задачі (5.52)-(5.53):

+

(5.56)

при всіх значеннях .

Розглянемо праву частину подвійної нерівності (5.56).

Остання нерівність має виконуватися для всіх , крім того , тобто нерівність справедлива лише у випадку, коли

.

Тоді з лівої частини нерівності (5.56) маємо:

Так як , то приходимо до нерівності , яка справедлива для всіх значень .

Отже, точка задовольняє обмеження і надає максимального значення цільовій функції задачі, так як для всіх інших функція приймає менші значення ніж в точці , тобто вона є оптимальним планом задачі нелінійного програмування. Достатність умов теореми доведено.

Умови теореми Куна-Таккера виконуються лише для задач, що містять опуклі функції.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]