40,Теорема Куна-Таккера
Розглянутий метод множників Лагранжа дає можливість знаходити лише локальні сідлові точки функції Лагранжа.
Теорема Куна-Таккера дає можливість встановити типи задач для яких на множині допустимих розв’язків локальний екстремум є і глобальним екстремумом зумовленого типу.
Теорема Куна-Таккера тісно пов’язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки.
Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, представимо у вигляді:
(5.52)
(5.53)
(5.54)
(Очевидно знак нерівності можна змінити на протилежний множенням лівої і правої частини обмеження на (-1)).
Теорема 5.1.
(Теорема Куна-Таккера). Вектор
є оптимальним розв’язком задачі
(5.52)-(5.54) тоді і тільки тоді, коли існує
такий вектор
,
що при
для всіх
пара
є сідловою точкою функції Лагранжа
,
і функція
є для всіх
угнута, а функції
– опуклі.
Доведення.
Необхідність. Нехай
– оптимальний план задачі (5.52)-(5.53), тобто
визначає точку глобального максимуму
задачі. Отже для всіх інших планів задачі
з множини допустимих розв’язків
виконуватиметься співвідношення:
Розглянемо тепер
вектор
,
що відповідає точці глобального максимуму
і значення функції Лагранжа в точках
,
,
де
довільний план задачі з множини допустимих
розв’язків,
– вектор множників Лагранжа, що відповідає
Х.
З умови (5.51) маємо
,
тоді
(5.55)
Для точки з
координатами
деякі доданки виду
можуть бути відмінні від нуля. Оскільки
за умовою задачі
,
то лише при умові, що
матимемо нерівність:
.
Функція
– лінійна відносно
,
тобто остання нерівність виконується
для будь-якого
.
Отже точка
– точка глобального мінімуму по
функції Лагранжа.
Для встановлення
нерівності, що відповідає лівій частині
умови (5.43), а саме
скористаємося також рівнянням (5.51),
просумувавши його по і:
.
За умовою теореми
– угнуті функції і
,
тому виконується наступне рівняння:
Отже у точці
функція Лагранжа має глобальний максимум
по Х,
що повністю доводить необхідність
теореми.
Достатність. Для
доведення достатності умови теореми
потрібно з того, що
,
– сідлова точка функції
(тобто для
виконується (5.43)) довести, що тоді
– є оптимальний план задачі опуклого
програмування.
У (5.43) підставимо вираз функції Лагранжа (5.42) для задачі (5.52)-(5.53):
+
(5.56)
при всіх значеннях
.
Розглянемо праву частину подвійної нерівності (5.56).
Остання нерівність
має виконуватися для всіх
,
крім того
,
тобто нерівність справедлива лише у
випадку, коли
.
Тоді з лівої частини нерівності (5.56) маємо:
Так як
,
то приходимо до нерівності
,
яка справедлива для всіх значень
.
Отже, точка
задовольняє обмеження і надає максимального
значення цільовій функції задачі, так
як для всіх інших
функція
приймає менші значення ніж в точці
,
тобто вона є оптимальним планом задачі
нелінійного програмування. Достатність
умов теореми доведено.
Умови теореми Куна-Таккера виконуються лише для задач, що містять опуклі функції.