Закон розподілу Пуассона

Можна показати, що при n   границя вираження біноміального розподілу дорівнює

.

Отримана формула виражає закон розподілу Пуассона. Таким чином, коли імовірність p появи події А в кожному окремому досліді мала, а число дослідів n велике, біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини може бути приблизно замінений законом Пуассона:

(5.9)

Закон розподілу Пуассона визначається одним параметром а = np, що є одночасно математичним сподіванням і дисперсією випадкової величини Х, розподіленої за законом Пуассона. Розподіл Пуассона з параметром а= np можна приблизно застосовувати замість біноміального, коли число дослідів n дуже велике, а імовірність p дуже мала, тобто в кожному окремому досліді подія А з'являється вкрай рідко. Розподіл Пуассона часто використовується, коли ми маємо справу із числом подій, що з'являються на проміжку часу. Наприклад, число дефектів на новій дільниці шосе довжиною 10 км, число місць витоку води на 100 км водопроводу, число поломок надійного технічного устрою за певний період часу, наприклад, за рік.

Експонентний закон розподілу

Розглянемо потік однорідних подій, що ідуть одне за одним у випадкові моменти часу. Його можна розглядати як послідовність точок на числовій осі, що показана на рисунку 5.1.

Якщо середнє число подій  на дільниці часу довжиною  залежить тільки від довжини дільниці, тобто постійне, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші дільниці, і події в потоці ідуть по одній, то такий потік називається найпростішим, або стаціонарним пуассоновським потоком.

Потік подій характеризується двома випадковими величинами: Х - число подій, що потрапляють на інтервал часу  і Т - проміжок часу між двома випадковими подіями в потоці. Помітимо, що Х є дискретною випадковою величиною, а Т - безперервною.

Число подій, що потрапляють на дільницю часу  у такому потоці має закон розподілу Пуассона (5.9), де а = * - математичне сподівання числа подій;  - інтенсивність потоку подій (число подій в одиницю часу);  - довжина дільниці часу.

Імовірність того, що на дільниці часу  не відбудеться жодної події за законом Пуассона:

P(0) = . (5.10)

Отримана ймовірність стосовно випадкової величини проміжку часу між двома сусідніми подіями T, це імовірність того, що він виявиться більше деякого поточного t: P{T ( t}. Тоді імовірність того, що Т виявиться менше деякого поточного t (P{T ( t}), є за визначенням функцією розподілу Т і визначиться як імовірність протилежної події:

F(t) = P{T  t} = 1  P{T  t} = 1  e^t . (5.11)

Щільність розподілу T визначимо як похідну функції розподілу F(t):

f(t) = d(t)/dt = e^{ t} . (5.12)

Такий закон розподілу називається експонентним.

Експонентний розподіл часто зустрічається в теорії масового обслуговування, а також у теорії надійності.

Визначимо числові характеристики випадкової величини, розподіленої за експонентним законом:

Провадячи інтегрування вроздріб, урахуємо, що при t exp{-t} прагне до нуля швидше, ніж зростає будь-який ступінь t, дістанемо:

m_x = 1/; (5.13)

Таким чином, математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за експонентним законом, зворотно параметру розподілу .

Визначимо дисперсію за формулою:

, (5.14)

звідки середнє квадратичне відхилення:

_x = 1/, (5.15)

де  - параметр розподілу (середнє число подій в одиницю часу).

Знайдемо імовірність влучення випадкової величини, що має експонентний розподіл, в інтервал значень (, ). Нагадаємо, що ця ймовірність дорівнює приростові функції розподілу на інтервалі (, ). З формули (5.11) маємо , , тоді

(5.16)