Довірчий інтервал і довірча імовірність

Розглянуті оцінки параметрів є точковими, тому що характеризуються одним числом. Якщо точкова оцінка параметра визначена на підставі вибірки малого об'єму, вона може значно відрізнятися від оцінюваного параметра. Для визначення помилки від заміни генерального параметра його оцінкою використовують поняття довірчого інтервалу й довірчої імовірності.

Нехай для деякого параметра розподілу, наприклад, математичного сподівання m_x отримані спроможна й незміщена оцінка а*. Потрібно визначити можливу помилку l. Призначимо досить велику імовірність  (0,95; 0,99) таку, що подію А= { }, яка характеризується цією ймовірністю, можна вважати практично достовірною. Знайдемо значення l, для якого справедлива рівність

Р(А) = P{(а- l)< m_x <(а+ l)} = . (9.16)

Рівність (9.16) означає, що діапазон можливої помилки при заміні m_x на а* з імовірністю  буде дорівнювати  l. Тут а* і  відомі, l підлягає визначенню. З імовірністю  невідоме значення параметра m_x буде знаходитися в інтервалі L=[а*- l, а* + l]. Більші, ніж l за абсолютним значенням помилки, будуть зустрічатися з імовірністю

= 1 - .

Зауважимо, що величина m_x невипадкова, а випадковим є положення відрізка L=2*l на осі абсцис, обумовлене випадковою величиною а*. Таким чином, довірчу ймовірність  можна трактувати як імовірність того, що випадковий інтервал L накриє точку m_x (рис. 9.1).

Рис. 9.1 – Довірчий інтервал.

Таким чином, значення  і L характеризують ступінь упевненості й величину погрішності при визначенні правдивого значення шуканого параметра m_x.

Приклад. Нехай зроблено n незалежних дослідів, з яких визначені значення вибіркової середньої й вибіркової дисперсії S². Потрібно визначити довірчий інтервал для вибіркової середньої.

Оскільки вибіркова середня визначається за формулою

,

її можна розглядати як функцію n незалежних випадкових величин x_i, які в загальному випадку можуть бути підлеглі будь-яким законам розподілу. Тоді, відповідно до центральної граничної теореми, закон розподілу вибіркової середньої буде близький до нормального з параметрами:

;

Припустимо, що генеральна дисперсія відома, тоді скориставшись інтегралом імовірності

і врахувавши, що помилка симетрична відносно а*, а  задана, дістанемо:

.

Користуючись таблицею значень інтеграла ймовірностей, можемо знайти аргумент

звідси .

Довірчий інтервал L = 2*l.

Тема 10. Елементи теорії кореляції

Метою кореляційного аналізу є визначення форми залежності між випадковими величинами X і Y і оцінка тісноти зв'язку між ними.

Залежність

y = f(x), (10.1)

в якій кожному значенню X відповідає одне певне значення Y, називається функціональною.

Одному значенню випадкової величини Х x_i може відповідати ряд значень Y: в₁, в₂, …, у_k, що може бути викликано впливом різних факторів на випадкову величину Y або помилками виміру. У цьому випадку залежність називається статистичною. Для кожного значення x_i можна визначити умовне середнє у_i (рис. 10.1).

Рис. 10.1 – Статистична залежність.

Статистичною називається залежність між X і Y, при якій зі зміною випадкової величини X змінюється розподіл випадкової величини Y. Якщо при зміні X змінюється середнє значення Y, то така статистична залежність називається кореляційною.

y_x = (x) (10.2)

Кореляційний аналіз заснований на використанні рівняння регресії.

Регресією Y на X називається умовне математичне сподівання випадкової величини Y за умови, що Х прийняла значення х_i. Лінія, що з'єднує точки y_i, називається лінією регресії. Для апроксимації лінії регресії аналітичним вираженням використовують рівняння регресії. На практиці найчастіше використовують лінійне рівняння регресії:

Y = _yx x + b (10.3)

Коефіцієнт при х _yx називається коефіцієнтом регресії.