Порівняння вибіркової середньої й генеральної середньої нормальної сукупності

Нехай з нормальної генеральної сукупності витягнута вибірка об'ємом n і визначена вибіркова середня х. Передбачається, що генеральна середня дорівнює а і генеральна дисперсія дорівнює ². Варто перевірити, чи значима розбіжність між вибірковою й генеральної середніми, або вона обумовлена випадковими причинами, тобто незначима. Запишемо нульову гіпотезу, врахуємо при цьому, що математичне сподівання вибіркової середньої дорівнює генеральній середній:

H₀: M[х] = a.

Сформулюємо альтернативну гіпотезу:

H₁: M[х]  a.

При такому формулюванні альтернативної гіпотези необхідно побудувати двосторонню критичну область, імовірність влучення в яку дорівнює рівню значимості . Як міра розбіжності між вибірковою і генеральною середніми використаємо випадкову величину Z:

, (11.1)

яка є нормованою нормальною випадковою величиною з параметрами M[Z]=0 і _z = 1.

Найбільша потужність критерію досягається, якщо імовірність влучення критерію Z у кожний із двох інтервалів критичної області дорівнює /2:

P{Z>z_кр}=/2. (11.2)

Оскільки розподіл критерію Z симетричний відносно нуля, критичні точки також розташовані симетрично відносно нуля, тобто область прийняття нульової гіпотези (-z_кр, z_кр).

Для визначення критичних точок можна скористуватися функцією Лапласа Ф(х), що являє собою імовірність влучення нормованої випадкової величини в інтервал (0,х), тобто:

P{0<X<x} = Ф(х).

Оскільки розподіл Z симетричний відносно нуля, по теоремі додавання ймовірностей маємо:

P{0< Z <z_кр} + P{ z_кр < Z < }= 1/2,

або, виразивши ймовірність через функцію Лапласа, одержимо:

Ф(z_кр)+ /2 = ½,

звідки

. (11.3)

Таким чином, визначивши значення функції Лапласа, можна по таблиці знайти значення її аргументу, тобто критичну точку z_кр. Тоді двостороння критична область визначається двома нерівностями:

Z < -z_кр;

Z > z_кр ,

а область прийняття гіпотези:

Z<z_кр. (11.4)

У випадку, коли генеральна дисперсія невідома, як критерій використовують t-розподіл (розподіл Стьюдента) з (n-1) ступенями свободи. Спостережуване значення критерію при цьому обчислюють за формулою

, (11.5)

де s - вибіркове середнє квадратичне відхилення.

У практичних задачах часто виникає ситуація, коли відома величина припустимої помилки  при визначенні вибіркової середньої. Виникає задача визначення об'єму вибірки, що забезпечує задану припустиму величину помилки =х-. Об'єм вибірки n можна визначити, скориставшись формулою (11.5). Нехай у результаті перевірки нульової гіпотези визначена двостороння критична область, що відповідає рівню значимості , тоді

де k - число ступенів свободи.

Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей

Нехай є дві незалежні вибірки й варто визначити, чи взяті вони з нормальних генеральних сукупностей X і Y з однаковою дисперсією. Запишемо нульову гіпотезу:

H₀: D[X] = D[Y], (11.6)

і сформулюємо альтернативну гіпотезу:

H₁: D[X]  D[Y]. (11.7)

Як критерій для перевірки нульової гіпотези про рівність дисперсій нормальних генеральних сукупностей приймають випадкову величину, що являє собою відношення більшої дисперсії до меншої:

де .

Нульова гіпотеза припускає, що дві вибірки незалежні й узяті з нормальних генеральних сукупностей з однаковими дисперсіями, у цьому випадку F=1. Однак, навіть якщо гіпотеза вірна, то малоймовірно, що s₁ прийме точно таке ж значення, як s₂ через вплив випадковості. Таким чином, завдання полягає в тому, щоб перевірити, чи буде випадкова величина F досить близька до одиниці.

Випадкова величина F має розподіл Фішера, що залежить тільки від ступенів свободи k₁=n₁-1 і k₂=n₂-1, де n₁ і n₂ об'єм вибірки з більшою й з меншою вибірковими дисперсіями відповідно, і не залежить від інших параметрів.

Для перевірки нульової гіпотези (10.6) при конкуруючій гіпотезі (10.7) будують двосторонню критичну область, що відповідає рівню значимості . Двостороння критична область визначається двома нерівностями:

F < F_кр1;

F > F_кр2 ,

а область прийняття гіпотези:

F_кр1<F<F_кр2

причому, імовірність влучення критерію в кожний із двох інтервалів критичної області дорівнює /2.