Вибіркове кореляційне відношення

Для оцінки тісноти нелінійного кореляційного зв'язку застосовують вибіркове кореляційне відношення . Вибірковим кореляційним відношенням Y до X називається відношення міжгрупового середнього квадратичного відхилення до загального середнього квадратичного відхилення ознаки Y:

(10.15)

де - міжгрупове середнє квадратичне відхилення, визначається як квадратний корінь із міжгрупової дисперсії за формулою

, (10.16)

де - умовна середня значень Y j-й групи;

N_j – об'єм j-й групи.

Міжгрупова дисперсія – це дисперсія групових середніх відносно загальної середньої.

Внутрішньогрупова дисперсія являє собою середнє арифметичне групових дисперсій:

(10.17)

Можна показати, що дисперсія ознаки є сумою внутрігрупової й міжгрупової дисперсій:

D_y = D_вн.гр + D_межгр (10.18)

Якщо Y функціонально залежить від X, то кожному певному значенню X відповідає єдине значення Y, і дисперсія відносно умовного середнього S_y = 0, відповідно дорівнює нулю середнє арифметичне дисперсій щодо умовного середнього. Таким чином, при функціональному зв'язку між X і Y внутрішньогрупова дисперсія дорівнює нулю, а загальна дисперсія Y дорівнює міжгруповій дисперсії, отже, якщо зв'язок функціональний, то кореляційне відношення дорівнює одиниці:

. (10.19)

Якщо кореляційне відношення дорівнює нулю, =0, то між X і Y зв'язок відсутній. Це витікає з того, що в цьому випадку міжгрупова дисперсія дорівнює нулю, а значить відсутній розкид умовних середніх відносно загальної середньої. Тобто, умовні середні при всіх значеннях Х однакові, а значить Y не залежить від Х.

Кореляційне відношення має наступні властивості:

- його значення лежить у межах від 0 до 1:

0    1;

- значення кореляційного відношення більше або дорівнює вибірковому коефіцієнту кореляції:

  r_в;

- якщо кореляційне відношення дорівнює вибірковому коефіцієнту кореляції,  = r_в, то між X і Y є лінійна кореляційна залежність.

Елементи регресійного аналізу

МНК дозволяє одержати точкові оцінки коефіцієнтів прийнятої залежності Y =  (X). Але тому, що коефіцієнти рівняння регресії - величини випадкові, вимагають перевірки й сама залежність і її коефіцієнти.

1. Перевірка адекватності рівняння регресії експериментальним даним виконується за критерієм Фішера

(10.20)

де D_ya – дисперсія адекватності. Вона визначається за формулою:

,

де n - число дослідів;

s - кількість шуканих параметрів апроксимуючої залежності;

y_ip - розрахункове значення функції в i-й точці при апроксимації залежністю Y = (X);

m_yi - середнє значення y в i-м досліді;

D_yo - дисперсія досліду. Вона визначається на підставі даних паралельних дослідів:

,

де m - число паралельних дослідів в i-й точці;

n - число дослідів;

m*n - загальне число вимірів;

D_yi – дисперсія i-го досліду, обумовлена за формулою

де m_yi – середнє значення У у i-м досліді.

Отримане значення F порівнюють із табличним F_т. Якщо F  F_т, то гіпотеза про адекватність не відкидається.