4.5. Сглаживание временного ряда с помощью простой скользящей средней

Распространенным приемом при выявлении тенденции изменения является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Сглаживание с помощью скользящих средних позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию развития.

Алгоритм сглаживания с помощью простой скользящей средней определяется длиной интервала сглаживания . Если — нечетное число, то простая скользящая средняя определяется по формуле

.

В частном случае для :

,

для:

.

Если длина интервала сглаживания равна или кратна периоду колебаний, то процедура сглаживания с помощью простой скользящей средней приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду. В общем случае использование простой скользящей средней позволяет сгладить случайные колебания.

Для устранения сезонных колебаний часто бывает необходимо использовать простую скользящую среднюю с четной длиной интервала сглаживания . В этом случае используют формулу, обеспечивающую условие симметричности числителя относительно момента времени t:

В частном случае для :

,

для :

Нетрудно заметить, что при сглаживании с помощью простой скользящей средней теряется наблюдений.

4.6. Сглаживание временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней

Сглаживание временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней обычно используется в том случае, когда динамический ряд содержит существенно нелинейный тренд (подтверждением этому может служить, в частности, графическое изображение ряда). Для анализа желательно сохранить небольшие «изгибы» ряда. Формулы такого сглаживания сильно зависят от длины интервала сглаживания и степени многочлена, по которому проводится сглаживание.

Формулы взвешенного скользящего среднего в случае, когда сглаживание производится по многочлену второй степени, имеют следующий вид:

для :

для :

4.7. Сглаживание временного ряда с помощью скользящей медианы

Для сглаживания аномальных наблюдений часто используется алгоритм сглаживания с помощью скользящей медианы, дающий хорошие результаты. Алгоритм сглаживания с помощью скользящей медианы состоит в следующем: в исходном временном ряду рассматриваются последовательные тройки элементов ряда. Внутри каждой рассматриваемой тройки значения сначала переставляются в порядке возрастания, а затем берется их медиана, т.е. значение, находящееся в середине.

Для того чтобы записать алгоритм метода, определим функцию от трех аргументов, называемую медианой:

Тогда алгоритм сглаживания определяется следующим выражением:

.

5. Практические задания

5.1. Лабораторная работа № 1. Парная линейная регрессия

Исходные данные для выполнения этой работы выдаются преподавателем каждому студенту индивидуально.

1. Постройте диаграмму рассеяния — диаграмму зависимости значений результативного признака от значений фактора . При построении выберите тип диаграммы Точечная (без отрезков, соединяющих точки).

2. Вычислите коэффициенты уравнения линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН (обратите внимание на то, что эта функция является функцией массива):

1. В свободном месте рабочего листа выделите область ячеек размером (т.е. 5 строк и 2 столбца) для вывода результатов.

2. В мастере функций выберите функцию ЛИНЕЙН (категория Статистические) и заполните поля аргументов функции:

Известные_значения_Y — адреса ячеек, содержащих значения признака ;

Известные_значения_X — адреса ячеек, содержащих значения фактора ;

Константа — значение (логическое), указывающее на наличие свободного члена в уравнении регрессии: если значение поля Константа равно 0, то свободный член полагается равным 0, если Константа равна 1, то свободный член рассчитывается обычным образом;

Статистика — логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или не выводить: если значение этого поля равно 1, то выводится дополнительная информация; если указать значение 0, то выводятся только оценки параметров уравнения регрессии (оценки и ).

3. После того как будут заполнены все аргументы функции, нажмите ОК.

4. После этого в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент таблицы результатов регрессионного анализа. Для вывода всей таблицы нажмите сначала F2, а затем — одновременно комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

5. Регрессионная статистика будет выведена в виде таблицы в следующем порядке:

Значение коэффициента	Значение коэффициента
Стандартная ошибка коэффициента	Стандартная ошибка коэффициента
Коэффициент детерминации	Оценка стандартного отклонения остатков
-статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

3. Вычислите коэффициент корреляции с помощью функции КОРЕЛЛ, аргументами которой являются адреса диапазонов ячеек, содержащих и . Сравните полученное значение с найденным ранее значением коэффициента детерминации.

4. Вычислите расчетные значения .

5. Вычислите остатки, т.е. отклонения истинных значений признака от расчетных.

6. Найдите величину средней относительной ошибки аппроксимации .

7. Постройте график остатков.

8. Постройте на корреляционном поле прямую линейной регрессии.

9. Рассчитайте стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции. Вычислите соответствующие значения -статистик. Проверьте статистическую значимость полученных значений параметров регрессии. Табличные значения можно определить по таблице распределения Стьюдента или воспользоваться функцией СТЬЮДРАСПОБР.

10. Вычислите доверительные интервалы параметров линейной регрессии.

11. Постройте точечный прогноз значения при значении в 3 раза больше, чем средний уровень .

12. Вычислите стандартную ошибку прогноза индивидуального значения и доверительный интервал полученного прогноза.

13. Получите результаты регрессионного анализа с помощью пакета Анализ данных (Сервис\Анализ данных\Регрессия). Поля Входной интервал Y, Входной интервал X, Константа имеют тот же смысл, что и для функции ЛИНЕЙН.

В поле Метки поставьте флажок, если первая строка в указанном диапазоне данных содержит названия столбцов.

Поставьте флажок в полях Остатки, График остатков, График подбора для того, чтобы получить соответствующую дополнительную информацию.

14. По результатам исследования оформите отчет, в котором должны быть приведены:

1. исходные данные;

2. диаграмма рассеяния;

3. найденное уравнение линейной регрессии;

4. график остатков и диаграмму рассеяния с линией регрессии;

5. коэффициент корреляции и детерминации, средняя ошибка аппроксимации, результаты расчета -статистики и выводы по критерию Фишера.

6. случайные ошибки параметров регрессии, соответствующие значения -статистик и выводы о статистической значимости найденных коэффициентов, а также доверительные интервалы параметров регрессии.

7. значение точечного прогноза, ошибку точечного прогноза и доверительный интервал для прогноза.