5.5. Лабораторная работа № 5. Проверка случайности ряда наблюдений

1. Смоделируйте три ряда по 30 наблюдений в каждом:

.

Здесь для и параметры и задаются произвольным образом, а для параметры выбираются произвольно, но так, чтобы было выполнено условие . Значения берутся из нормального распределения , для которого дисперсия задается произвольным образом. Для получения значений воспользуйтесь функциями СЛЧИС и НОРМОБР или возможностями пакета Анализ данных.

2. Постройте графики полученных временных рядов.

3. Проверьте каждый из полученных трех рядов по обоим критериям для проверки гипотезы случайности ряда.

Для нахождения медианы ряда можно воспользоваться функцией МЕДИАНА, аргументом которой является диапазон ячеек, содержащий ряд данных. При использовании этой функции нет необходимости предварительно ранжировать исходный ряд.

Для того чтобы правильно проанализировать серии, можно воспользоваться условным форматированием Формат\Условное форматирование. Задав условия на значения исходного ряда на сравнение с медианой или с предыдущим значением, необходимо определить формат ячейки, например, цвет шрифта или заливку, что облегчит подсчет и анализ серий.

Можно воспользоваться также функцией ЕСЛИ, которая позволяет сформировать дополнительный ряд значений в зависимости от значения текущих ячеек. Например, в этом ряду будет стоять 1, если значение текущей ячейки меньше медианы, 0 — если равно медиане, и –1 — если больше медианы. По этому ряду нетрудно проанализировать серии как вручную, так и с помощью функций или программы на Visual Basic.

4. Оформите отчет, в котором приведите исходные ряды, их графики, результаты проверки критериев и выводы.

5.6. Лабораторная работа № 6. Оценка тренда и периодической составляющей

1. Смоделируйте ряд, состоящий из 30 наблюдений, по формуле

где , — произвольные константы; — выборка из нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией . Здесь фактор фактически представляет собой время.

2. Учитывая свойства тригонометрических функций, аналитически определите период периодической (сезонной) составляющей .

3. Получите статистическую оценку тренда и периодической составляющей методом наименьших квадратов. Для этого необходимо построить множественную линейную регрессию

(см. лабораторную работу № 3). В данном случае необходимо сформировать матрицу размером :

,

и выполнить все необходимые расчеты. Таким образом, должны быть найдены по методу наименьших квадратов оценки . В результате оценка тренда имеет вид

,

а оценка периодической составляющей:

.

4. Вычислите значения . Сравните полученную оценку тренда и сам тренд и постройте их на одном графике. Вычислите значения . Сравните оценку периодической составляющей и истинную периодическую составляющую из п. 2. Постройте их на одном графике. Вычислите теоретические значения , и постройте на одном графике и .

5. Оценить тренд и периодическую составляющую ряда можно и с помощью другого подхода, не использующего аналитические предположения о виде сезонной составляющей. По двумерной выборке постройте с помощью функции ЛИНЕЙН парную регрессию показателя на :

,

которая и будет рассматриваться как новая оценка тренда.

6. Устраните этот тренд из исходного временного ряда. Для этого перейдите к разностям

.

Постройте график полученных значений.

7. Найдите оценку периодической составляющей для каждого из моментов времени, входящих в период. Число периодов и их продолжительность можно оценить и по графику, построенному в предыдущем пункте (сравните полученное значение с периодом, определенным в п. 2). В нашем случае (30 наблюдений) имеется целое число периодов , где  — период. Итак, имеем

.

8. Вычислите значения . Сравните новую полученную оценку тренда и , постройте их на одном графике. Вычислите значения . Сравните оценку периодической составляющей и при , постройте их на одном графике. Вычислите значения , учитывая периодичность значений для . Постройте на одном графике с и .

9. Для каждого из методов оценки тренда и периодической составляющей вычислите остатки:

где для .

10. Исследуйте остатки и для проверки гипотезы случайности остатков (например, по критерию серий, основанному на медиане выборки). Постройте графики остатков.

11. Рассчитайте значения прогноза показателя для моментов времени . Расчет прогноза сделайте отдельно для каждого из двух рассмотренных методов. По первому методу прогноз вычисляется прямой подстановкой значений в формулу для (п. 4). Прогноз по второму методу представляет собой сумму тренда , которая также вычисляется с помощью прямой подстановки значений (формула в п. 5), и сезонной составляющей , которая найдена в п. 7 (при вычислении сезонной составляющей необходимо сначала определить соответствующее значение аргумента внутри периода). Постройте полученные значения прогноза совместно с графиками , и .

12. По результатам исследования оформите отчет, содержащий исходные данные, оценки трендов и периодических составляющих по обоим методам, указанные в тексте графики, результаты исследования остатков.