4. Временные ряды

4.1. Компоненты временных рядов

Многие экономические процессы имеют определенную продолжительность, поэтому в эконометрическом исследовании часто необходимо учитывать фактор времени. Для этого рассматривают совокупности значений изучаемого показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени: . Эту совокупность (или последовательность) значений часто называют временным рядом.

В практике анализа эконометрических показателей, образующих временные ряды, принято считать, что значения уровней временных рядов складываются из следующих компонент:

1. тренд;

2. сезонная составляющая;

3. циклическая составляющая;

4. случайная составляющая.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель называется аддитивной моделью временного ряда:

,

Если же временной ряд представляется в виде произведения компонент, то получаем мультипликативную модель временного ряда:

,

здесь

— уровни (значения) временного ряда,

— тренд (тенденция) временного ряда,

— сезонная компонента,

— циклическая компонента,

— случайная компонента.

Под трендом (тенденцией) понимают изменение, определяющее общее направление развития изучаемого показателя. Это систематическая составляющая долговременного действия. Для описания тренда используют плавно меняющиеся, гладкие функции.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. Причины сезонных колебаний могут быть связаны с природно-климатическими условиями, могут носить социальный характер (например, увеличение закупок в предпраздничные дни, увеличение платежей в конце квартала и т.д.) Для описания сезонной компоненты используют периодические функции.

При большем периоде колебания, считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента. Часто причиной нерегулярных колебаний является действие большого числа побочных причин. Эта компонента рассматривается как случайная.

Примеры данных, образующих временные ряды:

1. Месячная динамика производства электроэнергии.

2. Курсовая стоимость акции какой-либо компании.

3. Динамика курса доллара.

4.2. Критерии случайности

Будем рассматривать последовательность наблюдений (ряд наблюдений) . Важным является вопрос о наличии или отсутствии тренда (тенденции) в изучаемом ряде наблюдений (такой вопрос возникает, например, при изучении динамики курса акций). Подобные вопросы сводятся, в частности, к проверке независимости и стационарности распределения (одинаковой распределенности) наблюдений, образующих ряд. Гипотезу о независимости и стационарности в дальнейшем будем называть гипотезой случайности значений ряда наблюдений, в частности, гипотезой об отсутствии регулярных составляющих (тренда, периодических составляющих) в ряде наблюдений.

Для проверки гипотезы случайности рассмотрим несколько критериев.

I. Критерий серий, основанный на медиане выборки

1) Элементы исходного ряда располагаются в порядке возрастания, т.е. из исходного ряда образуется ранжированный (вариационный) ряд .

2) Определяется медиана ранжированного ряда:

3) Сравнивая значения исходного ряда с медианой, составляем последовательность по формуле

В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули не участвуют в анализе.

4) Подсчитывается число серий в последовательности . Под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус тоже считается серией.

5) Определяется — протяженность самой длинной серии.

6) При условии случайности ряда (т.е. в отсутствии тенденции) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий — слишком маленьким. Поэтому, если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, гипотеза о случайности отвергается приблизительно для 5%-ного уровня значимости:

Здесь с помощью квадратных скобок обозначена целая часть числа . Если оба неравенства выполнены, то гипотеза случайности принимается.

II. Критерий «восходящих и нисходящих» серий

1) Для исходного ряда образуется последовательность по следующему правилу:

В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули не участвуют в анализе.

2) Подсчитывается — число серий в последовательности . Под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус тоже считается серией.

3) Определяется — протяженность самой длинной серии.

4) В условиях случайности число серий не должно быть слишком маленьким, а протяженность самой длинной серии — слишком большой. Если нарушается хотя бы одно из следующих двух неравенств, то гипотеза случайности отвергается для приблизительно 5%-ного уровня значимости:

где

Если оба неравенства выполнены, то гипотеза случайности принимается.