4. Распределение Максвелла молекул по скоростям

Представим себе сосуд с газом, помещенный в пустое пространство. Газ внутри сосуда находится в равновесии и его молекулы каким-то образом распределены по скоростям. Это распределение нам и требуется найти. Рассмотрим движение молекулы вдоль оси ОХ. Можно доказать, что вероятность того, что скорость центра масс любой молекулы лежит в интервале от v_x до v_x + dv_x (мы опускаем индекс "О" для скорости центра масс), определяется выражением:

В предыдущих лекциях мы уже неоднократно использовали понятия средних значений различных физических величин,

характеризующих движение молекул: среднюю скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы и т.д.

Нетрудно видеть, что средние значения физических величин тоже тесно связаны с понятием вероятности.

Пусть требуется определить некоторую величину а, относящуюся к какой-либо системе частиц. Для этого мы должны проделать (конечно, мысленно) множество наблюдений над системой (их число равно N). Тогда окажется, что при Nj наблюдениях мы найдем, что интересующая нас величина а имеет значение а^ N₂ наблюдений дадут для а значение а₂ и т.д. Среднее значение а, по определению, равно:

Это означает, что число молекул, находящихся в тепловом равновесии при температуре Т и обладающих скоростью v_x в интервале от v_x до v_x + dv_x равно

Постоянную А можно определить из условия, что

Делая замену переменных

получим

Рассмотрим теперь случай, когда случайная величина а может принимать не дискретные значения а_р а₂, ..... а любые. В этом случае задача ставится следующим образом. Какова вероятность того, что случайная величина а при измерении будет иметь значение от а до a + da, где da — бесконечно малое изменение а? Можно записать, что эта вероятность

случайной величины а, или ее функцией распределения. Среднее значение величины а определяется тогда по формуле

где интегрирование проводится по всем возможным значениям величины а. При этом

Полученное выражение для функции распределения молекул по х-компонентам скоростей не может быть "привилегией" именно х-компоненты скорости. Очевидно, что совершенно такие же выражения должны определять и распределения молекул по другим компонентам скорости, так что

57

Теперь мы можем найти вероятность того, что скорость любой молекулы удовлетворяет одновременно трем условиям:

Это означает, что число таких молекул

На основании теоремы о произведении вероятностей эта вероятность равна

Этой формуле можно дать наглядное геометрическое толкование. Введем трехмерное пространство скоростей молекулы v_x,v_y,v_z (рис. 13.3). Тогда формулу (13.25) можно

дает функцию распределения Максвелла по абсолютной скорости.

При выводе распределения Максвелла мы не принимали во внимание столкновения между молекулами, хотя столкновения не могут не влиять на их скорости, а значит и на распределение их по скоростям. В действительности именно благодаря

столкновениям и устанавливается максвелловское распределение по скоростям.

Поэтому распределение Максвелла — это равновесное распределение, следовательно, можно сказать, что ддижр>ние молекул полностью беспорядочно (хаотично), если скорости молекул распределены по закону Максвелла.

5. Характерные скорости молекул

Пользуясь функцией распределения Максвелла (13.27), можно вычислить ряд величин, важных для молекулярной физики. Здесь в качестве примера мы приведем вычисления средней

арифметической скорости (v) молекулы, средней квадратичной скорости

и, наконец,

наиболее вероятной скорости v_HB. Начнем со средней арифметической скорости (v). На основании (13.20)

трактовать, как вероятность нахождения молекулы в элементарном объеме пространства скоростей dv_x,dv_y,dv_z вблизи точки с координатами

(v_x,v_y,v_z).

Формула (13.25) называется распределением Максвелла по компонентам скоростей.

Если нас интересует вероятность того, что молекула газа обладает абсолютной скоростью поступательного движения в пределах от v до v+dv, то вместо dv_x,dv_y,dv_z мы должны взять

объем, заключенный в пространстве скоростей между сферой радиусом v+ dv и сферой радиусом v, который равен 4?rv²dv. Тогда вероятность того, что молекула обладает при тепловом равновесии абсолютной скоростью от v до v+dv, дается выражением

После несложного интегрирования по частям получим окончательно:

газовая постоянная.

Для определения среднеквадратичной скорости находим

Стоящий в (13.30) интеграл является частным случаем так называемого интеграла Пуассона, который имеет вид

где dN_v — число таких молекул. Эта формула

где а — положительная постоянная. Он равен:

58

Подставляя (13.32) в (13.30), получим

Среднеквадратичная скорость

потенциальная энергия U(x,y,z). Это сходство, как оказывается, не является случайным.

Пусть газ находится в состоянии теплового равновесия при температуре Т во внешнем силовом поле U(x,y,z). Какова тогда вероятность dw того, что у любой, взятой наугад молекулы координаты будут находиться в интервале от x,y,z

Обратим внимание, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

что согласуется с определением абсолютной температуры, данным в лекции 10.

Наиболее вероятная скорость молекулы v_HB находится из условия максимума функции распределения f(v):

где

После несложных выкладок получим окончательно

где

Сравнивая выражение (13.29), (13.35) и (13.38), находим соотношение между тремя характерными скоростями: