5. Среднее число столкновений и

средняя длина свободного пробега

молекул

Прежде чем переходить к выяснению микроскопической природы явлений переноса, остановимся на характере взаимодействия молекул газа несколько подробнее, чем мы это делали до сих пор.

Взаимодействие между молекулами газа осуществляется путем их столкновений. В течение большей части времени молекулы находятся сравнительно далеко друг от друга и движутся как свободные. Молекулы вступают во

взаимодействие лишь на короткие промежутки времени, на период их взаимных столкновений.

61

Сталкиваться молекулы могут самым различным образом. Строго говоря, при всяком пролетании молекул друг мимо друга на не слишком большом расстоянии они как-то изменяют свои скорости. Поэтому само понятие "столкновения" не имеет вполне точного смысла. Для того, чтобы сделать это понятие более определенным, мы будем понимать под столкновениями только те случаи, когда молекулы проходят настолько близко друг от друга, что взаимодействие существенно меняет их скорости как по величине, так и направлению.

Рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, из которых одну будем считать неподвижной. Представим себе, что неподвижная молекула находится в некоторой плоскости, а движущаяся молекула пересекает эту плоскость. Как было сказано, мы говорим о столкновении молекул только в тех случаях, когда они проходят настолько близко друг от друга, что их движение существенно меняется. Это значит, что движущаяся молекула в нашем примере испытает столкновение с неподвижной только если она пересечет плоскость где-либо в пределах определенной небольшой площадки, описанной вокруг неподвижной молекулы. Эта "прицельная" площадь, в которую должна попасть молекула, называется эффективным сечением

столкновений; обозначим его буквой а.

Определим в качестве примера эффективное сечение столкновений для молекул,

рассматриваемых как твердые шарики с радиусами г, Наибольшее расстояние между центрами двух шариков, на котором они могут пройти так, чтобы еще коснуться друг друга, равно 2г. Поэтому "прицельная" площадь, в которую должна попасть молекула для того, чтобы произошло столкновение, есть круг радиусом 2г вокруг центра неподвижной молекулы. Таким образом, эффективное сечение столкновений в этом случае равно

В действительности, конечно, молекулы не являются твердыми шариками. Но поскольку сила взаимодействия двух молекул очень быстро убывает с увеличением расстояния между ними, то столкновения происходят лишь в том случае, если молекулы "задевают" друг друга. Поэтому соотношение (14.5) близко к своему экспериментальному значению.

Однако между молекулами действуют также и слабые силы притяжения, когда они находятся на больших расстояниях друг от друга. При понижении температуры скорости молекул газа уменьшаются, а тем самым увеличивается время, в течение которого длится столкновение двух молекул. Поэтому при понижении температуры эффективное сечение столкновений несколько увеличивается. Так, у азота и кислорода а увеличивается примерно на 30% при понижении температуры от 4- 100°С до - 100°С.

Столкновения молекул газа происходят совершенно беспорядочно. Поэтому и путь, проходимый молекулой между испытываемыми ею двумя последовательными столкновениями, может быть самым разнообразным. Можно,

однако, ввести понятие средней величины пробегамолекул газа между столкновениями. Это расстояние, которое называют средней длиной свободного пробега молекул, является важной характеристикой молекулярно-кинетических

Среднее число столкновении, испытываемых молекулой газа в единицу времени, можно вычислить из весьма простых соображений, если считать молекулы твердыми шариками радиусом г. Пусть одна из молекул движется по прямой в газе, в котором частицы равномерно распределены по объему, так что в каждом кубическом метре находится п молекул.

Тогда наша движущаяся молекула, пройдя за одну секунду расстояние, равное ее средней

скорости (v), столкнется со всеми молекулами,

которые окажутся на ее пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в

цилиндре длиной (v) и с площадью основания, равной эффективному сечению столкновений а.

Следует учесть, что движется не одна молекула, а все молекулы газа. Это значит, что в выражение для z должна входить не абсолютная (относительно стенок сосуда) скорость молекулы, а ее скорость v_OTH относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Можно показать, приняв во внимание максвелловское

Тогда для среднего числа столкновений молекулы в единицу времени получим

или, поскольку мы условились считать молекулы шариками,

распределение молекул по скоростям, что

За время t молекула проходит некоторый зигзагообразный путь, равный (v)t. Изломов на этом пути столько, сколько произошло столкновений. Средняя длина свободного пробега равна, очевидно, отношению длины пути (v)t к числу испытанных на этом пути столкновений:

62