1. Барометрическая формула

Хаотические молекулярные движения

приводят к тому, что частицы газа равномерно распределяются по объему сосуда, так что в каждой единице объема содержится в среднем одинаковое число частиц. В равновесном состоянии давление и температура газа также одинаковы во всем объеме. Но так обстоит дело только в том случае, когда на молекулы не действуют внешние силы. При наличии же таких сил молекулярные движения приводят к своеобразному поведению газов.

Возьмем, например, газ (воздух), находящийся под действием силы тяжести. Если бы отсутствовало тепловое движение молекул, то все они под действием силы тяжести "упали" бы на Землю. Если бы отсутствовала сила тяжести, молекулы разлетелись бы по всему пространству.

Рассмотрим вертикальный столб воздуха (рис. 13.1). Пусть у поверхности Земли (х = 0) давление равно Р_о, а на высоте х равно Р. При

Если же считать, что температура на всех высотах одна и та же (что, вообще говоря, неверно), то, интегрируя (13.3), находим

где С - постоянная интегрирования, которая находится из условия, что при х = 0 давление

Уравнение (13.6) называется барометрической формулой. Из этого уравнения видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Так как давление газа P = nkT, то из (13.6) вытекает, что концентрация молекул на высоте х

изменении высоты на dx давление уменьшается на dP. Изменение же давление dP равно разности весов воздуха над единичной площадкой на высотах х и х 4- dx, то есть

где р — плотность воздуха, g — ускорение силы тяжести.

Из уравнения состояния

Разделяя в (13.2) переменные Р и х, получим:

2. Распределение Больцмана

Полученная выше формула относится к случаю, когда газ находится под действием силы тяжести. Величина mgx в формуле (13.7) представляет собой потенциальную энергию молекулы на высоте х. Нет никаких оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая-либо другая сила, а выражение для энергии будет иметь другой вид.

Поэтому можно сказать, что, если газ находится в каком-нибудь силовом поле, то число частиц в единице объема, обладающих потенциальной энергией U(x,y,z) определяется формулой

55

где По — концентрация молекул в окрестности точки, где U = 0.

Формула (13.8) называется формулой Больцмана. Она позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового равновесия при температуре Т обладают энергией U:

Умножим (13.8) на элемент объема dV = dxdydz и обозначим dN = ndxdydz — число молекул в элементарном объеме dV. Тогда

где N — полное число молекул.

Полученную формулу удобно трактовать с несколько иной точки зрения, пользуясь понятием вероятности, а именно, считать, что

где А — некоторая постоянная, есть вероятность для любой взятой наугад молекулы газа, существующего в равновесии при температуре Т, находиться в элементе. объема dV = dxdydz

вблизи точки с координатами (x,y,z) (рис. 13.2). Такая трактовка будет понятна из дальнейшего.