2.4. Использование специальных средств для решения оптимизационных задач.

Характерным признаком оптимизационной задачи является наличие некоторой целевой функции. Решение задачи сводится к поиску таких значений аргументов целевой функции, при которых она имеет оптимальное значение. Под оптимальным значением понимается чаще всего максимальное или минимальное значение. Оптимальным значением могут быть, например: максимальная прибыль предприятия, минимальные транспортные расходы, минимальное (не превышающее заданной точности) отличие исследуемой функции от заданной величины. Как правило, в реальной задаче, кроме оптимизируемой функции, есть еще и ограничения, не дающие ей стать бесконечно большой или бесконечно малой. Ограничения могут накладываться как на саму функцию, так и на переменные, от которых она зависит.

Для решения задач оптимизации в Microsoft Excel используются встроенные средства «Подбор параметра» и «Поиск решения», которые вызываются соответствующими командами меню «Сервис».

Средство «Подбор параметра» является более простым в использовании. Однако по причине своей простоты, имеет весьма ограниченные возможности и, соответственно, ограниченные области применения.

Рис. 10. Использование средства «Подбор параметра» для решения нелинейного уравнения.

Как видно на Рис. 10, «Подбор параметра» можно использовать в задачах, не выходящих за пределы некоторых условий:

1. целевая функция зависит от одного аргумента;

2. оптимальным значением целевой функции является ее минимальное отклонение от конкретного значения;

3. ограничения значений целевой функции или ее аргумента не важны.

Примером такой задачи может служить решение нелинейного уравнения с одним неизвестным.

Средство «Поиск решения» является более универсальным, т.к. позволяет работать с целевой функцией произвольного типа и устанавливать необходимые для решения задачи ограничения. Это средство может быть использовано для решения различных задач оптимизации. В пределах данного пособия средство «Поиск решения» предлагается использовать для решения транспортной задачи.

2.4.1 Решение нелинейного уравнения.

Простейшим случаем задачи оптимизации является определение корня нелинейного уравнения. Уравнение f (х) = 0 будет нелинейным, если в его правой части присутствует неизвестная в степени, отличной от 1, или имеются трансцендентные функции sin x, In x и т.д. Для некоторых уравнений существуют методы, позволяющие получить точное решение (например, квадратное уравнение). Однако большинство из них не имеет точного аналитического решения.

Чаще всего нелинейное уравнение имеет несколько корней, поэтому его приближённое решение состоит из двух этапов.

На первом этапе производится грубый подбор или отделение корня, то есть находятся все или хотя бы один отрезок, на котором есть корень. Для этого следует просчитать таблицу значений функции на произвольно выбранном интервале и построить график. Напомним, что корень - это значение х, при котором левая часть уравнения равна 0. На графике это отрезок, на котором функция пересекает ось X, соответственно в таблице -отрезок на котором функция меняет знак. Если на выбранном интервале корней не оказалось, следует поискать их на другом отрезке, просто изменив значения в столбце аргументов.

На втором этапе отделённый корень определяется с заданной точностью. Для этого можно использовать средство «Подбор параметра». Для этого нужно заполнить на рабочем листе две ячейки: в одной записать значение аргумента, а во второй формулу для расчета функции, являющейся левой частью уравнения. Эти ячейки можно просто скопировать из таблицы. В качестве начального значения аргумента X следует выбрать левую границу отрезка, на котором обнаружен корень. С таким же успехом можно для этой цели можно использовать средство «Поиск решения». Поскольку «Поиск решения» позволяет задавать ограничения, можно легко найти все отделенные корни, задавая в качестве ограничений границы отрезков, на которых обнаружены корни.

Рис. 11. Использование средства «Поиск решения» для уточнения корня нелинейного уравнения

На Рис. .11 показан пример заполнения окна «Поиск решения» и дополнительной формы «Добавление ограничения» при решении задачи нахождения корней нелинейного уравнения.