4.2. Аналитический способ

Если граница какой-либо территории наложена на план по координатам, то можно по ним вычислить ее площадь, заключенную в многоугольник. Вычисление производится по формуле , т.е. площадь многоугольника равна полусумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей вершин многоугольника.

Контролем служит формула , т.е. площадь P многоугольника равна полусумме произведений каждой ординаты y на разность абсцисс x предыдущей и последующей вершин. Расхождение между P₁ и P₂ не должно превышать 0.1 м².

Для вычисления площади треугольника и четырехугольника пользуются формулами, состоящими из двух произведений.

Для треугольника:

, или .

Для четырехугольника:

, или .

Значение координат для площадей менее 200 га округляют до 0.1 м, для больших площадей – до 1.0 м.

Относительная погрешность определения площади аналитическим способом несколько больше относительной погрешности измерений линий, но относительные погрешности вычисления площадей полигонов, включенных в геодезическую сеть, значительно меньше 1/2000 (т.е. погрешности измерения линии).

4.3. Графический способ

Вычисление площадей графическим способом состоит в том, что участки, изображенные на плане, разбивают на простейшие геометрические фигуры – преимущественно на треугольники, реже – на трапеции. В каждой фигуре на плане измеряют высоту и основание, по которым вычисляют площадь. Сумма площадей фигур дает площадь участка.

Чем больше углов имеет граница участка, тем меньше эффективность этого способа. Следовательно, для определения площадей участков, имеющих большое количество углов, целесообразно вычислять площадь по графическим координатам точек, т.е. координатам, измеренным на плане при помощи измерителя или координатографа, координатометра и др.

Наилучшим вариантом разбивки участка на треугольники будет тот, при котором треугольники близки к равносторонним (вернее, их высоты близки по величине к основаниям). Если высоты или основания, по которым определяют площади фигур, представляют линии, измеренные на местности, например, стороны теодолитного полигона, то для повышения точности определения площадей на плане длины этих линий не измеряют, а принимают величины, полученные на местности.

Точность вычисления площади неравностороннего треугольника будет выше, если короткое основание (или высота) измерено на местности, а длинная высота (или основание) определена по плану.

Для контроля и повышения точности площадь каждого треугольника определяют дважды: по двум различным основаниям и двум высотам. Если расхождение допустимо, то из двух значений площади вычисляют среднее. Допустимость расхождения между двумя значениями площади определяют по формуле

,

где M – знаменатель численного масштаба плана.

Для обеспечения контроля вычислений и повышения точности при выборе высот и оснований не следует стремиться к тому, чтобы в смежных треугольниках они повторялись, так как это ведет к зависимости результатов вычислений, и могут оказаться незамеченными грубые ошибки.

Пример вычисления графическим способом площади полигона (рис. 12) приведен в табл. 1.

Рис. 12

Т а б л и ц а 1

Номер треугольника с вершинами	Номер измерения	Основанием,	Высота, м		Удвоенная площадь, га	Среднее значе-ние удвоенной площади, га
1 1 – 2 – 7 2 2 – 5 – 7 3 2 – 4 – 5 4 2 – 3 – 4 5 5 – 6 – 7 6 7 – 8 – 1	I II I II I II I II I II I II	462.7 728 458 674 284.3 571 386.4 301.6 391.9 276.1 360 434.8	580 369 657 448 566 281 280 361 275 390 435 360		26.84 26.86 30.09 30.20 16.09 16.05 10.82 10.89 10.78 10.77 15.66 15.65	26.85 30.14 16.07 10.86 10.78 15.66
ИТОГО:				220.71			110.36
							P = 55.18 га