34. Алгоритмы построения множеств Мандельброта и Жюлиа.

.

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта – это фрактал, определённый как множество точек на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность

Не уходит на бесконечность.

То есть каждая итерация :

Множество Жюлиа

Будем рассматривать последовательности комплексных чисел {Z_n}. Возьмем произвольное комплексное число c. Теперь для любого комплексного числа k рассмотрим последовательность {Z_n(k)}:

Z₀ = k, Z_i+1= Z_i² + c

Зададим себе вопрос: сходится ли Z_n к нулю или стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности? Пусть J – множество всех комплексных чисел {k}, таких что {Z_n(k)}стремится к 0, при n стремящемся к бесконечности. Если теперь мы возьмем все такие kи отобразим их на комплексной плоскости, то получим множество Жюлиа. Меняя c, мы получим бесконечный набор фантастических само подобных образов – множеств Жюлиа.

35. Алгоритм построения фрактального листа папоротника

Для построения некоторых фракталов на компьютере используются аффинные преобразования с большим числом итераций. Эти фракталы называются фракталами на основе системы итерируемых функций (Iterated Function System - IFS). Одним из наиболее ярких примеров таких фракталов является лист папоротника. Аффинные преобразования, используемые при построении IFS-изображения, представлены приведенными ниже формулами: x_n+1=a*x_n+b*y_n+e y_n+1=c*x_n+d*y_n+f Эти уравнения служат для формирования компьютером координат новой точки (x_n+1,y_n+1) по координатам текущей (x_n,y_n). Например, при построении IFS-изображения папоротника используются четыре аффинных преобразования. Уравнения преобразований различаются значениями параметров a, b, c, d, e и f. Для IFS-изображения папоротника используется 4 набора таких коэффициентов. Каждому из четырех аффинных преобразований ставится в соответствие некоторая вероятность, определяющая его относительную важность по сравнению с другими преобразованиями. В ходе нескольких тысяч итераций каждое аффинное преобразование должно использоваться много раз пропорционально назначенной вероятности. Для первой итерации выбираются начальные значения x₀=y₀=0. Затем эти начальные значения вводят в выбранное аффинное преобразование. Выходные величины x_n+1 и y_n+1 этого преобразования служат набором значений координат x_n и y_n на следующей итерации. Полученные на каждой итерации значения x_n+1 и y_n+1 выводятся на экран как пиксель.

36. Алгоритм построения треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Алгоритм построения треугольника Серпинского: Треугольник Серпинского можно также получить по следующему алгоритму: Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник. Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трех вершин треугольника. Отметить текущую позицию. Повторить с шага 2.

Есть еще один способ построения.

Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется внутренность срединного треугольника. На втором шаге удаляется три срединных треугольника из трёх оставшихся треугольников и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного треугольника остаётся подмножество — треугольник Серпинского.