30. Геометрические фракталы

Именно с этим фракталов началась история развития фракталов в целом. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении геометрических фракталов руководствуются следующим алгоритмом:

1. Берется набор отрезков, на основании которых будет строится фрактал.

2. К данному набору применяют определенные правила, которые преобразуют его в какую-либо геометрическую фигуру.

3. К каждой части этой фигуры применяют тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться всё сложнее и, если провести бесконечное количество преобразований, получим геометрический фрактал.

Примеры геометрических фракталов: кривая Пеано, снежинка Коха, лист папоротника, треугольник Серпинского,

Рис. Снежинка Коха Рис. Лист Рис. Треугольник Серпинского

31. Алгебраические фракталы

Фрактал — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком

Алгебраические фракталы получили своё название за то, что их строят на основе алгебраических функцій. К алгебраическим фракталам относяться: множество Мандельброта, множество Жюлиа, басейны Ньютона, биоморфы.

-множество Мандельброта:Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 годуПьером Фату. Фату изучал рекурсивные процессы вида

Начав с точки  на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой  при преобразовании 

Фату нашел, что орбита  при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения . (названо мандельброта так как он первым провел необходимое количество вычислений использовав компьютер).

-множество Жюлиа:  мно́жество Жюлиа́  рационального отображения  — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

-бассейны Ньютона:Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона накомплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).

Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:

Выбор начального приближения  представляет особый интерес. Т.к. функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям.

-биоморфы: сокращенная форма множества Жюлиа, вычисляеться по формуле z=z³+c. Название получила из-за схожести с одноклеточными организмами.

33. Системы итерируемых функций ( ifs ).

IFS представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое. Наиболее простая IFS состоит из аффинных преобразований плоскости:

X' = A*X + B*Y + C Y' = D*X + E*Y + F

Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями, т.е. коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A,B,C,D,E,F).

Например, закодировав какое-то изображение двумя аффинными преобразованиями, мы однозначно определяем его с помощью 12-ти коэффициентов. Если теперь задаться какой-либо начальной точкой (например X=0 Y=0) и запустить итерационный процесс, то мы после первой итерации получим две точки, после второй - четыре, после третьей - восемь и т.д. Через несколько десятков итераций совокупность полученных точек будет описывать закодированное изображение. Но проблема состоит в том, что очень трудно найти коэффициенты IFS, которая кодировала бы произвольное изображение.

Для построения IFS применяют кроме аффинных и другие классы простых геометрических преобразований, которые задаются небольшим числом параметров. Например, проективные:

X' = (A1*X + B1*Y + C1) / (D1*X + E1*Y + F1) Y' = (A2*X + B2*Y + C2) / (D2*X + E2*Y + F2)

или квадратичные:

X' = A1*X² + B1*X*Y + C1*Y² + D1*X + E1*Y + F1 Y' = A2*X² + B2*X*Y + C2*Y² + D2*X + E2*Y + F2

преобразования на плоскости.

Примеры систем итерируемых функций : Ковёр Серпинского, листок Папоротника, "дракон" Хартера-Хейтуэя, кривая Коха.