Лекция 8 Метод минимальных путей и сечений

В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу. Эту задачу решают методом минимальных путей и сечений. Метод минимальных путей применяется для оценки вероятности безотказной работы сверху, а метод минимальных сечений- для оценки вероятности безотказной работы снизу.

Формирование минимальных путей

При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути считают, что изначально все элементы находятся в неработоспособном состоянии. Последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи.

Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу данного пути.

Следовательно, в отдельном пути элементы находятся в основном соединении (последовательно), а сами пути (для системы) включаются параллельно.

Для мостиковой схемы: Набор минимальных путей

Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, в результате расчета получается оценка безотказности сверху :

При заданных выше исходных данных (все элементы приняты равнонадежными: вероятность безотказной работы 0,9; вероятность отказа 0,1) оценка вероятности безотказной работы сверху .

Формирование минимальных сечений

При формировании минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Сечения соединяются последовательно, т.к. отказ каждого из сечений вызывает отказ системы. Элементы каждого сечения соединяются параллельно, т.к. для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Для мостиковой схемы:

Набор минимальных сечений

Полученная оценка является оценкой снизу, поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, т.е. определяется вероятности безотказной работы снизу

При заданных выше исходных данных (все элементы равнонадежны: вероятность безотказной работы 0,9; вероятность отказа 0,1) оценка вероятности безотказной работы сверху .

Таким образом, при составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным соединением элементов. Для мостиковой структурной схемы надежности вероятность безотказной работы, изменяется в пределах: - оценка снизу; - оценка сверху.

Лекция 9 Метод разложения относительно особого элемента

Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности.

В сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния которого образуют полную группу событий: . Если анализируемая система находится в состоянии , то вероятность этого состояния определяется выражением

.

Второй сомножитель определяет вероятность состояния при условии, что особый элемент находится в состоянии .

Рассмотрение - го состояния особого элемента как безусловного позволяет упростить структурную схему надежности системы и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов.

Рассмотрим мостиковую структурную схему надежности.

а б

В этой схеме элемент 5 выделяется как особый с двумя возможными состояниями: 1 – наличие цепи между точками «а» и «б»; 2 – отсутствие цепи между точками «а» и «б». Поэтому можно перейти от мостиковой схемы к двум структурным схемам, соответствующим состояниям «1» и «2»:

«а» - работоспособное состояние;

«б» - неработоспособное состояние

В данном случае работоспособное состояние элемента «5» с вероятностью ; (рисунок «а»);

неработоспособное состояние элемента «5» с вероятностью отказа ;(рисунок «б»).

Если состояние – наличие цепи между точками «а» и «б», то вероятности и нахождения системы в состояниях «1» и «2» соответственно определяются из исходного выражения

.

Следовательно, имеем:

– (схема «а»);

– (схема «б»);

;

Таким образом, оценка безотказности снизу по методу миимальных путей и сечений совпадает с фактической безотказностью системы 0,978, рассчитанной методами перебора состояний и разложения относительно особого элемента .

Сопоставление обоих методов расчета надежности показывает, что выделение особого элемента с последующим анализом упрощенных структурных схем существенно сокращает объем расчетных работ.