2.2 Приклади розв’язку задач

Задача 1

На брус, зображений на рис 2.2 діють сили F₁=4 кН; F₂=6 кН і F₃=10кН та рівномірно розподілене навантаження q=2 кН/м; A=2см². Визначити поздовжню силу по всій довжині стержня і побудувати епюру N.

Розв’язок. Визначаємо степінь статичної невизначеності: n=1-1=0.

Для консольної балки можна будувати епюру N з вільного кінця, не визначаючи опорних реакцій. Але визначення опорної реакції дає можливість зробити перевірку побудованої епюри.

Оскільки розглядаємо центральний розтяг, то в защемленні виникає лише одна реакція R_A, яку визначаємо з умови рівноваги стержня.

R_A

0 0 N(кН) σ(МПа) U·10^-4(м)

а=1м F₃=10кН ІІІ N₃

x₃ 8 40

1 1 2 10 0,5

1,9775

b=3м II

N₂

x₂ 4 20 3,25

2 2 2 10

F₂=6кН F₂ F₂

c=2м I

N₁

x₁

3 3 1,25

F₁=4кН F₁ F₁ F₁

Рисунок 2.1

;;. (Реакція R_A від'ємна, тому на рис.2.1 перекреслюємо початковий напрямок R_A і направляємо його в протилежному напрямку).

Для визначення поздовжніх сил застосовуємо метод перерізів для кожної ділянки.

Спрямовуємо вісь ОХ вздовж стержня і визначимо ділянки бруса, на яких закон зміни поздовжньої сили можна виразити як функцію координати х. Межі ділянки визначають точки прикладання зосереджених сил або навантаження q.

У даному прикладі стержень має три ділянки. Перша ділянка обмежена точками прикладання сил R_A і F₃, друга – точками прикладання сил F₃ і F₂, третя – точками прикладання сил F₂ і F₁.

Для визначення поздовжньої сили на першій ділянці робимо переріз I-I на відстані x₁ від точки, де прикладена сила F₁.

– це рівняння прямої, паралельної осі бруса.

II ділянка. Проводимо переріз II-II на відстані x₂ від точки прикладання F₂:

З умови рівноваги

– це рівняння прямої .

Для визначення поздовжньої сили на III ділянці проводимо переріз III-III. Відкидаємо верхню частину і розглядаємо рівновагу нижньої відсіченої частини.

;

– це рівняння прямої, паралельної осі бруса.

Будуємо епюру поздовжніх сил. Для цього проводимо вісь епюри паралельно осі бруса і відкладаємо значення N по перпендикуляру до осі епюри у вибраному довільному масштабі. При цьому додатні значення (розтяг) відкладаємо по одну сторону від осі (направо), а від’ємні (стиск) – по іншу сторону (наліво). Штрихують епюру прямими лініями, перпендикулярними до осі.

Перевірка побудованої епюри N:

1. Якщо на ділянці немає рівномірно розподіленого навантаження q, то поздовжня сила постійна, і епюра N буде паралельною до осі;

2. Якщо на ділянці є рівномірно розподілене навантаження q, то значення поздовжньої сили змінюється по довжині, а епюра N піде по похилій, причому, якщо q направлено вниз, то нахил епюри N справа-наліво, а якщо q направлено вгору, то нахил епюри N зліва-направо;

3. В перерізах, де прикладені зосереджені сили, на епюрі поздовжніх сил N будуть стрибки на величину прикладеної сили по її напрямку. При цьому виконується диференційна залежність:

Примітка. На епюрі N в перерізі, де діє R_A має бути стрибок на величину R_A по її напрямку.

Задача 2

Для попередньої задачі виконати розрахунки на міцність бруса. Для того, щоб зробити перевірочний розрахунок на міцність, необхідно побудувати епюру нормальних напружень.

;

; ;

; .

Будуємо епюру нормальних напружень. Для цього проводимо вісь епюри паралельно осі бруса і відкладаємо значення по перпендикуляру до осі епюри у вибраному масштабі. Робимо перевірку міцності стержня з умови міцності:

Але оскільки брус постійного поперечного перерізу, то робити перевірку на кожній ділянці немає сенсу, тому робимо тільки для найбільш небезпечної ділянки, де . або . З епюри

де Значення N_max беремо з епюри N.

Недовантаження напружень:

Перевірка епюри

1. Епюра σ(х) завжди паралельна осі N(х) і має ті самі знаки на ділянках.

2. Епюра σ(x) обмежена справа – [σ]_р, а зліва – [σ]_с .

Задача 3

Для задачі 2 визначити деформації перевірити брус на жорсткість. Визначаємо на ділянках:

; ;

;

;

;

Будуємо епюру переміщень U (завжди від защемлення):

Перевірка побудови епюри U(x):

1. Якщо на ділянці немає q, то епюра N піде паралельно осі бруса, а епюра U по похилій.

2. Якщо на ділянці є q, то епюра N піде по похилій, а епюра U – по параболі. При цьому, якщо q направлено вниз, то випуклість параболи вправо, а якщо q направлено вгору, то випуклість параболи вліво.

3. Виконуються диференціальні залежності: якщо на ділянці епюра N додатня, то епюра U зростає, якщо епюра N від’ємна, то епюра U спадає, якщо N=0 в точці, то на епюрі U – екстремум, якщо епюра N=0 на ділянці, то епюра U= const, тобто піде паралельно осі.

Задача 4

Для даного бруса (рис 2.2) побудувати епюри N(x), (x) і U(x). R_A

σ(МПа) U( )

3qa N(qa)

A 3,85

l₁=3a мідь

1 1

2A 4,5

сталь

l₂=2a

F₁=2qa

2qa

2 2 A

l₃=4a мідь

3 3

F₂=2qa 12,5

Рисунок 2.2

1 Визначаємо степінь статистичної невизначеності: n=1– 1=0.

2 Статична сторона задачі:

y=0. R_A + q3a – F₁ + F₂ = 0;

R_A + 3qa – 2qa + 2qa =0 ; R_A = –3qa.

3 Будуємо епюру поздовжніх сил N:

N₁ = –R_A +qx;

N₁(0) = –3qa;

N₁(3a) = –3qa + q3a = 0;

N₂ = –R_A –q3a = –3qa +3qa =0;

N₃ = R_A =q3a –F₁ =–3qa + 3qa – 2qa = –2qa.

4 Будуємо епюру нормальних напружень σ:

5 Визначаємо деформації:

6 Будуємо епюру переміщень:

Задача 5

Ступінчастий стержень (рис.2.3) з круглим поперечним перерізом, навантажений силами F₁=4qa і F₂=2qa і рівномірно розподіленим навантаженням q=2 кН/м. Матеріал стержня – чавун. Модуль пружності матеріалу E=1,2·10¹¹Па. Підібрати розміри поперечних перерізів, якщо допустиме напруження на стиск МПа, а на розтяг МПа.

Розв’язок.

1. Визначаємо степінь статистичної невизначеності:

n=1– 1=0.

2. Статистична сторона задачі:

R_A+4qa+2qa-2q·4a+R_B=0;

R_A-2qa+R_B=0;

3. Розглянемо геометричну сторону задачі. Для цього визначимо деформації Δ₁, Δ₂, Δ₃ і складаємо рівняння сумісності деформацій Δ₁+Δ₂+Δ₃=0.

R_A=-2,1818qa

2,1818qa N 14,2863 σ(МПа)

A x₁

a

F₁=4qa 1,8182qa 11,9054

1 1 1,0909

x₂

2a

2 2 3,8182qa 50 0,7272

F₂ =2qa x₃

4a 4,3719

3 3

4,1818qa 54,7643

Рисунок 2.3

4. Фізична сторона задачі:

.

5 Синтез:

6 Будуємо епюру N(x):

I ділянка 0≤x≤a , N₁(x)=R_A= –2,1818qa.

II ділянка 0≤x≤2a , N₂(x)=R_A+F₁= –2,1818qa+4qa=1,8182qa.

III ділянка 0≤x≤4a ,

N₃(x)=R_A+F₁+F₂ –2qx=

= –2,1818qa+4qa+2qa –2qx –3,8182qa –2qx.

N₃(0)=3,8182.

N₃(4a)=3,8182 –2q4a= –4,1818qa.

Перевірка побудови епюри N:

1. На I і II ділянках немає q, тому епюра N піде паралельно осі, а на III ділянці є q, яке направлено вниз, тому епюра N піде по похилій, яка направлена справа наліво.

2. В перерізах, де прикладені сили F₁, F₂ і R_A на епюрі N є стрибки на величину цих сил по їх напрямку, а в нижньому защемленні отримали стрибок на величину R_B=4,8182qa.

3. Для статично невизначеного бруса епюра N(x) має бути обов’язково двох знаків.

Задача 6

Для попередньої задачі необхідно виконати проектувальний розрахунок.

Проектувальний розрахунок робимо з умови міцності бруса. Якщо матеріал бруса-пластичний, то [σ]_р=[σ]_с, тобто матеріал однаково працює на розтяг і стиск.

Якщо матеріал бруса крихкий або напівкрихкий, то [σ]_р<[σ]_с.

В нашому випадку матеріал чавун, для якого [σ]_р=50МПа, [σ]_с=120МПа.

;

;

;

Вибираємо . Для того, щоб переконатись, що підібрано переріз правильно, треба зробити перевірочний розрахунок:

_c

.

Висновок: ми бачимо, що стержень витримає задане навантаження, бо на всіх ділянках напруження менше допустимого напруження.

Зробимо деформаційну перевірку. Для цього визначимо видовження ділянок від заданого навантаження і побудуємо епюру переміщень.

Визначаємо третю точку параболи:

3,8182qa-2qx=0

Будуємо епюру переміщень (від защемлення в т. А):