Тема 5 Кручення

5.1 Основні теоретичні відомості

Стержень, який працює на кручення, називається валом. Деформація кручення виникає тоді, коли із всіх силових факторів відмінним від нуля є тільки крутий момент, який діє в площині поперечно переріза, перпендикулярно до осі стержня.

Зовнішні моменти називатимемо скручуючими. Внутрішнім силовим фактором при крученні буде крутний момент, який дорівнює алгебричній сумі скручуючи моментів, розташованих по одну сторону від переріза.

Крутний момент вважається додатнім, якщо при погляді в торець відсіченої частини вала скручуючий момент діє за годинниковою стрілкою.

Графік розподілу крутних моментів по довжині вала називається епюрою крутних моментів.

При розв’язку задачі скручуючи моменти задаються або їх треба визначити за допомогою формули, якщо задано потужність і частота обертів вала.

М_k = · 9,55 =,

N – потужність, кВт; n – частота обертів;

W – кутова швидкість, с^-1; M_k – скручуючий момент, кН·м .

Під дією крутних моментів в площині поперечного переріза виникають дотичні напруження — τ = , де Мкр – крутий момент в тому перерізі, де визначаємо τ, [кН·м] ;

– відстань від початку координат до точки, в якій визначається τ, [м];

Іρ – полярний момент індукції поперечного перерізу, [м⁴].

Для круглого переріза найбільший дотичні напруження будуть на поверхні вала, при ,

= = = ,

де Wρ = = – полярний момент

опору поперечного переріза для прямо-

кутного переріза.

τ= ,

де Wк-в- момент опору прямокутника при крученні;

в – найменша сторона прямокутника;

– коефіцієнт який залежить від відношення сторін.

Деформація при крученні є кут закручування.

Найбільші дотичні напруження виникають посередині більшої сторони, а посередині меншої сторони виникають дотичні напруження

= ,

де – коефіцієнт, який залежить від відношення сторін.

Деформацією при крученні круглого переріза є кут закручування.

= – якщо немає рівномірного розподіленого крутного моменту або

= – якщо на ділянці є рівномірно розпо-ділений крутний момент.

Для порівняння жорсткості валів різної довжини визначається відносний кут закручування.

або ,

кут повороту для прямокутного переріза ,

де І_k=– момент індукції прямокутника при крученні.

5.2 Приклади розв’язку задач

Задача 1

=6; =12; =2; =3;

М=5кНм; =0,8; =1,5; =2; =80 МПа.

1 Розбиваємо вал на ділянки і визначаємо крутні моменти на всіх ділянках:

Мк=М=3М; Мк=М+М=5М;

Мк=М+М-М= -7М; Мк= М+ М- М+ М= -М.

2 Кут закручування А дорівнює нулеві. Кут повороту перерізу С відносно А:

.

Кут повороту перерізу Д відносно А:

, аналогічно,

.

За одержаними даними будуємо епюри крутних моментів і кутів закручування (рис 5.1).

3 Для суцільного круглого перерізу діаметр валу з умови міцності:

d ,

Рисунок 5.1

Для трубчастого перерізу зовнішній діаметр з умови міцності:

D = =

==15,57·10м.

Заокруглюючи діаметри валів до стандартних розмірів, маємо d=140 мм; D=160 мм.

Площа поперечного перерізу суцільного валу дорівнює:

А=== 153,86·10.

Площа попереднього перерізу трубчастого вала:

А_тр ===72,34·10м.

Їх відношення == 2,12.

Одержані числа показують, якою великою є економія матеріалу при застосуванні трубчастих валів, зокрема тонкостінних.

Задача 2

Вал круглого поперечного перерізу знаходиться під дією зосередженого скручуючого моменту М і рівномірно розподіленого по довжині скручуючого моменту т. Побудувати епюри для М_кр і кутів закручування φ.

Визначаємо степінь статичної невизначеності:

п = 1 – 1 = 0

Рисунок 5.2

Визначати опорні реакції не потрібно, бо будуємо епюри Мкр з вільного кінця:

0 ≤ x ≤ 2а,

Мкр=М –mx;

Мкр(0)=4ma;

Мкр (2)=4та – т · 2а = 2та;

Визначимо деформацію:

∆φ = ,

∆φ (2а)= ,

∆φ (а)= .

Будуємо епюру кутів закручування (завжди від заземлення):

φ_0-0 = 0;

φ_1-1= ∆ φ(а) = 2,5;

φ_2-2= ∆ φ(2а) = 6 ;

Задача 3

Вал, прямокутного перерізу , робить n = 95,5 об/хв. і передає потужність N = 100 кВт.

Визначити розміри поперечного перерізу, якщо допустимі напруження не повинні перевищувати 80МПа, а кут закручування 1 градус на 2м.

Визначимо величину скручуючого моменту:

Мкр = 9,55 = 9,55·

Визначимо розміри поперечного перерізу з умови міцності.

де при ; β = 0,645; α=0,622.

Визначимо розміри поперечного перерізу з умови жорсткості.

Вибираємо b=b_max = 0,6928·10^-1м ≈ 70 мм.