12.5. Методы прогноза и коррекции

Неявные методы Адамса решения ОДУ первого порядка более точны по сравнению с явными схемами. Однако у них на завершающем этапе расчета схемы необходимо решать нелинейное в общем случае уравнение относительно величины y_i+1 искомой функции y(х) в конечной точке х_i+1 текущего шага интегрирования.

Методами прогноза и коррекции (которые также называют предсказывающе-исправляющими методами или схемами "предиктор-корректор") в вычислительной математике называют группу методов численного решения различных задач, у которых каждый шаг состоит из двух основных действий. Первое (предиктор) заключается в вычислении грубого начального приближения искомой величины, выполняется однократно. Второе действие (корректор) уточняет его. Данное действие может выполняться как однократно, так и итерационно неограниченное число раз - для достижения требуемой точности. В зависимости от сочетания предиктора (способа расчета начального приближения) и корректора (способа его уточнения) могут быть получены различные варианты численных методов решения задач рассматриваемого вида.

При использовании методов прогноза и коррекции в решении ОДУ можно получить высокую точность расчета. Наиболее просто принцип прогноза и коррекции может быть реализован при помощи методов Адамса, в которых для расчета очередных величин y_i+1 и f_i+1.применяются только ранее найденные узловые значения производной f_j и последнее значение искомой функции y_i. В этом случае явный метод Адамса (Адамса-Башфорта) используется в качестве предиктора, а неявный (Адамса-Мултона) - в качестве корректора. Рассмотрим примеры построения таких методов.

1. Рассмотренный ранее метод (схема) Хойна (12.12), в котором предиктором является метод Эйлера (12.8) - простейший одношаговый (k=1) вариант явного метода Адамса, сводящийся к интегрированию f(x, y) на частных отрезках по формуле левого прямоугольника. В качестве корректора используется простейший двухшаговый (k=2) неявный метод Адамса (12.15), в котором интегрирование f(x, y) выполняется по методу трапеций. Получаемая точность метода O(h²).

2. Также часто используется сочетание 4-х шаговых методов Адамса: предиктор — явная 4-х шаговая формула Адамса, корректор — неявная 4-х шаговая формула Адамса. Точность метода O(h⁴).

Альтернативным подходом к применению методов Адамса при построении расчетных схем в методах прогноза и коррекции является применение как в предикторах, так и в корректорах не полиномов, зависящих от узловых значений производной f_j и последнего значения искомой функции y_i (как в методах Адамса), а более сложных выражений, предусматривающих наряду с искомыми y_i+1 и f_i+1 расчет и последующее использование в формулах вспомогательных величин. За счет этого удается повысить точность методов.

Наиболее употребительными методами прогноза и коррекции данного типа при решении ОДУ первого порядка являются следующие.

1. Метод Милна. Метод четырехшаговый, причем в узле х_i-3 используется не производная f_i-3, а значение функции y_i-3. Выполняются следующие действия:

а) вычисляют начальное "грубое" значение y_i+1 искомой функции y(х) в узле i+1:

y_i+1* = y_i-3 + (4h/3) (2f_i - f_i-1 +2 f_i-2);

б) рассчитывают производную y(х) в узле i+1 при грубом значении y_i+1*:

f_i+1* = f(x_i+1,y_i+1*);

в) по f_i+1* определяют итоговое уточненное значение y_i+1 функции y(х) в узле i+1, а также соответствующее значение производной f_i+1:

y_i+1 = y_i-1 + (1/3) h (f_i-1 + 4 f_i + f_i+1*),

f_i+1 = f(x_i+1,y_i+1). (12.21)

Точность метода O(h⁵).

2. Метод (формулы) Хемминга, в которых сначала вычисляется "прогноз" y_i+1*, затем - "поправка"y_i+1, затем "коррекция" y_i+1**, и только потом - итоговое приближенное решение y_i+1. Метод четырехшаговый. При вычислении прогнозных значений и их коррекции используются не только узловые значения производной f(x,y(x)), но значения в узлах искомой функции y(х) и вспомогательных величин.

y_i+1* = (2y_i-1 + y_i-2)/3 + h (191f_i - 107 f_i-1 +109 f_i-2 - 25 f_i-3)/72;

y_i+1 = y_i+1* - (707/750) (y_i*- y_i**);

y_i+1** = (2y_i-1 + y_i-2)/3 + h (25 f(x_i+1,y_i+1) + 91f_i + 43 f_i-1 +9 f_i-2)/72;

y_i+1 = y_i+1** +(43/750)( y_i+1* - y_i+1**). (12.22)

Точность метода O(h⁶)._,

В двух последних методах прогноза и коррекции за счет отказа от использования интерполяционных полиномов и перехода к более общим формулам удалось повысить порядок метода при том же самом числе шагов, что и в 4-х шаговом методе Адамса.